Centro della conica..

[Musicam]

Salve,data la conica $4x^2+y^2+2x+4xy=0$ determinare il centro.

SVOLGIMENTO
Ho calcolato le derivate parziali:
f'x=8x+2+4y
f'y=2y+4x

da cui mettendole a sistema ed uguagliandole a 0 ottengo le soluzioni x=-1/2 e y=-1/4 (che sono le coordinate del centro)

QUESTO PROCEDIMENTO è ESATTO? CE NE SONO ALTRI

[mistake89]

In virtù del teorema di reciprocità puoi scegliere due punti sulla retta impropria $i_\infty$, ad esempio $X_\infty$ e $Y_infty$ e si ha che il centro è il punto di intersezione delle due polari $p_(X_\infty)$ e $p_(Y_\infty)$

Nel caso specifico della parabole, ti basta intersecare la conica con la retta con la retta impropria per determinare il centro.

PS La tua soluzione di certo non è corretta, perché il punto della parabole è un punto improprio.

[Musicam]

mmm non è che abbia capito tanto...comunque, visto che questa conica è una parabola, ha il centro? o no?!

[mistake89]

Certo ed è situato sulla retta impropria. Quindi avrà coordinate $(x,y,0)$.
Considerando l'equazione omogenea ed intersecato con la retta $z=0$ si ottiene $(2x+y)^2=0$ da cui $2x+y=0$ e quindi $y=-2x$.
Scegliendo $x=1$ si ottengono le coordinate del centro $(1,-2,0)$. Ovviamente il centro della parabola è un punto all'infinito, ecco perché la coordinata omogenea è $0$.