Cardinalità di R^inf
Salve a tutti,
Sia R l'insieme dei numeri reali
Qual è la cardinalità del prodotto cartesiano RxRx... infinite volte?
Grazie.
Sia R l'insieme dei numeri reali
Qual è la cardinalità del prodotto cartesiano RxRx... infinite volte?
Grazie.
Risposte
Sicuramente \(\displaystyle\mathbb{R}^{\{0,1\}}\) è equipotente a \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\); con un ragionamento simile si può dimostrare che per ogni sottoinsieme finito \(\displaystyle F\) di \(\displaystyle\mathbb{N}_0\) risulta \(\displaystyle\mathbb{R}^{F}\) è equipotente \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\), da cui si evince che \(\displaystyle\mathbb{R}^{(\infty)}\) (l'insieme delle successioni a supporto finito) è equipotente a \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\).
A questo punto, mi verrebbe da affermare che \(\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}\) è di una potenza superiore a \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\)... più di questo non saprei che fare!
P.S.: propongo di spostare il thread nella stanza di algebra.
A questo punto, mi verrebbe da affermare che \(\displaystyle\mathbb{R}^{\infty}\) è di una potenza superiore a \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\)... più di questo non saprei che fare!
P.S.: propongo di spostare il thread nella stanza di algebra.
Ti ringrazio per la risposta,
io ho seguito un approccio diverso,
sapendo che R^n ha cardinalità di R allora per induzione 'avrei' dimostrato che essendo vero per ogni n allora si può considerare anche il caso R^infinito,
ma non so dove fallisce questo mio discorso.
Ti ringrazio per il suggerimento
io ho seguito un approccio diverso,
sapendo che R^n ha cardinalità di R allora per induzione 'avrei' dimostrato che essendo vero per ogni n allora si può considerare anche il caso R^infinito,
ma non so dove fallisce questo mio discorso.
Ti ringrazio per il suggerimento
Alcune considerazioni.
1. $RR^(0,1)$ è $RR^2$ e non è equipotente all'insieme delle parti di R, quello è $2^RR$.
2. L'induzione ti permette di dimostrare che una proprietà indicizzata dai naturali vale per tutti i naturali, in questo caso la formula $|A\times B|=\max {|A|,|B|}$ permette di dimostrare per induzione che per ogni n naturale $RR^n$ ha la stessa cardinalità di $RR$. Per ogni n naturale: se l'esponente non è finito non dice nulla di nulla.
Ora, se stai studiando un po' di cardinalità dovresti sapere che "infinite volte" vuol dire ben poco. Il prodotto di un insieme A un numero |I| di volte, ove I è un insieme di indici, è per definizione l'insieme $A^I={f: I \to A}$ delle funzioni da I in A. Supponendo che con "infinite volte" intendessi "N volte", vale a dire che $I=NN$, allora per definizione $RR^NN={f: NN \to RR}$ e tale insieme ha la stessa cardinalità di R. Infatti
$|RR|\le|RR^NN|=|(2^NN)^NN|=|2^(NN \times NN)|=|2^NN|=|RR|$.
Qui trovi una dimostrazione della validità della seconda uguaglianza.
1. $RR^(0,1)$ è $RR^2$ e non è equipotente all'insieme delle parti di R, quello è $2^RR$.
2. L'induzione ti permette di dimostrare che una proprietà indicizzata dai naturali vale per tutti i naturali, in questo caso la formula $|A\times B|=\max {|A|,|B|}$ permette di dimostrare per induzione che per ogni n naturale $RR^n$ ha la stessa cardinalità di $RR$. Per ogni n naturale: se l'esponente non è finito non dice nulla di nulla.
Ora, se stai studiando un po' di cardinalità dovresti sapere che "infinite volte" vuol dire ben poco. Il prodotto di un insieme A un numero |I| di volte, ove I è un insieme di indici, è per definizione l'insieme $A^I={f: I \to A}$ delle funzioni da I in A. Supponendo che con "infinite volte" intendessi "N volte", vale a dire che $I=NN$, allora per definizione $RR^NN={f: NN \to RR}$ e tale insieme ha la stessa cardinalità di R. Infatti
$|RR|\le|RR^NN|=|(2^NN)^NN|=|2^(NN \times NN)|=|2^NN|=|RR|$.
Qui trovi una dimostrazione della validità della seconda uguaglianza.
@fabricius Hai ragione, intendevo gli insiemi \(\displaystyle\{0,1\}^{\mathbb{R}}\) e \(\displaystyle F^{\mathbb{R}}\)...
Ciao _fabricius_ ti ringrazio per la risposta, e risponde in pieno al mio problema, intendevo proprio R^N. Grazie ancora.
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