Caratterizzazione delle varietà Hausdorff in termini di atlanti
Sia \( S \) un insieme. Sia \( \mathscr S \) un atlante massimale su \( S \). Creo di aver dimostrato che la topologia indotta da \( \mathscr S \) su \( S \) è Hausdorff se e solo se per ogni \( x_1,x_2\in S \) tali che \( x_1\neq x_2 \) esistono carte ammissibili (= carte di \( S \)) \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che \( x_1\in U_1 \), \( x_2\in U_2 \) e \( U_1\cap U_2 = \emptyset \).
Apro questo thread perché in realtà ho letto (sull'Abate; ho un attimo tweakato l'asserto perché così mi piace di più) che la topologia su \( S \) è T2 se e solo se o esiste una carta ammissibile \( (U,\phi) \) tale che \( x_1,x_2\in U \), oppure vale che esistono carte ammissibili \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che eccetera eccetera. La prima condizione mi sembra innecessaria, quindi vi chiedo se la dimostrazione che ho scritto ha qualche falla.
Dimostrazione. Supponiamo che la topologia indotta sia Hausdorff. Se \( x_1 \) e \( x_2 \) sono punti distinti di \( S \), esistono due aperti \( A_1 \) e \( A_2 \) tali che \( x_1\in A_1 \), \( x_2\in A_2 \) e \( A_1\cap A_2 = \emptyset \). Sono quindi date due carte \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che \( x_1\in U_1\subset A_1 \) e \( x_2\in U_2\subset A_2 \), e quindi tali che \( U_1\cap U_2 = \emptyset \). Viceversa, supponiamo che per ogni coppia di punti distinti di \( S \) esistano carte del genere. Dati \( x_1 \) e \( x_2 \) punti di \( S \) tali che \( x_1\neq x_2 \) si ha \( x_1\in U_1 \) e \( x_1\in U_2 \) per due carte \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che \( U_1\cap U_2 = \emptyset \). La tesi segue dal fatto che \( U_1 \) e \( U_2 \) sono aperti.
Apro questo thread perché in realtà ho letto (sull'Abate; ho un attimo tweakato l'asserto perché così mi piace di più) che la topologia su \( S \) è T2 se e solo se o esiste una carta ammissibile \( (U,\phi) \) tale che \( x_1,x_2\in U \), oppure vale che esistono carte ammissibili \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che eccetera eccetera. La prima condizione mi sembra innecessaria, quindi vi chiedo se la dimostrazione che ho scritto ha qualche falla.
Dimostrazione. Supponiamo che la topologia indotta sia Hausdorff. Se \( x_1 \) e \( x_2 \) sono punti distinti di \( S \), esistono due aperti \( A_1 \) e \( A_2 \) tali che \( x_1\in A_1 \), \( x_2\in A_2 \) e \( A_1\cap A_2 = \emptyset \). Sono quindi date due carte \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che \( x_1\in U_1\subset A_1 \) e \( x_2\in U_2\subset A_2 \), e quindi tali che \( U_1\cap U_2 = \emptyset \). Viceversa, supponiamo che per ogni coppia di punti distinti di \( S \) esistano carte del genere. Dati \( x_1 \) e \( x_2 \) punti di \( S \) tali che \( x_1\neq x_2 \) si ha \( x_1\in U_1 \) e \( x_1\in U_2 \) per due carte \( (U_1,\phi_1) \) e \( (U_2,\phi_2) \) tali che \( U_1\cap U_2 = \emptyset \). La tesi segue dal fatto che \( U_1 \) e \( U_2 \) sono aperti.
Risposte
Mi sembra giusto come dici te.
Ok, grazie per aver controllato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo