Caratterizzazione degli endomorfismi diagonalizzabili

[Andrea902]

Buonasera a tutti!

Ho dei dubbi riguardo la dimostrazione del seguente teorema:

"Sia $f:V->V$ un endomorfismo dello spazio vettoriale $V$ con $text{dim}V=n$. Allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se si ha: $V=V_(lambda_1) oplus...oplus V_(lambda_r)$, dove $lambda_1,...,lambda_r$ sono gli autovalori distinti di $f$".

Con $V_(lambda_i)$ denoto l'autospazio relativo all'autovalore $lambda_i$.

L'implicazione $lArr$ l'ho provata facilmente. Devo provare l'implicazione $rArr$. Allora: se $f$ è diagonalizzabile per definizione esiste una base di autovettori che lo diagonalizza. Diciamo $B$ questa base: $B=[v_1,...,v_n]$ e perciò: $V=$. Dal momento che $lambda_1,...,lambda_r$ sono gli autovalori distinti di $f$, la base $B$ resta suddivisa in sottoinsiemi $B_1$,...,$B_r$, dove $B_i$ è il sottoinsieme degli elementi di $B$ (e quindi autovettori) associati a $lambda_i$. Fin qui nessun problema. Adesso nascono i dubbi! La dimostrazione continua così:
1) Se $V_i$ è il sottospazio generato da $B_i$ risulta: $V=V_1 oplus ...oplus V_r$. Perchè?
2) Vogliamo provare che $V=V_(lambda_1) oplus...oplus V_(lambda_r)$; nel libro viene scritta la relazione: $V=V_1 oplus ...oplus V_rsubeV_(lambda_1) oplus...oplus V_(lambda_r)subeV$ e l'autore la giustifica dicendo che 'ovviamente' $V_isubeV_(lambda_i)$. Perchè vale $V_isubeV_(lambda_i)$?

Capiti i concetti espressi in questi due punti la dimostrazione fila tranquillamente.

Io riguardo il punto 2) ho ipotizzato che dal momento che: $v_i in V_(lambda_1) oplus...oplus V_(lambda_r)$ (e ciò vale perchè $v_i$ deve appartenere ad uno degli autospazi $V_(lambda_j)$) segue che: $V=subeV_(lambda_1) oplus...oplus V_(lambda_r)$, ma non so se è giusto....

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

Andrea

[cirasa]

1) Prova a fare una dimostrazione.
Cosa significa che $V=V_1\oplus ... \oplus V_r$?
Sapendo che ogni $V_i$ ha come base i vettori di $B_i$, che $B=B_1 cup ...cup B_r$ è una base di $V$ e che naturalmente i $B_i$ sono distinti, riesci a provarlo?
Se hai problemi chiedi pure.

2) $V_i$ ha $B_i$ come base. Ma ogni vettore di $B_i$ è in $V_{lambda_i}$ in quanto è autovalore relativo all'autovalore $lambda_i$. Pertanto ogni elemento di $V_i$ (combinazione lineare dei vettori di $B_i$) è in $V_{lambda_i}$, cioè $V_i\subset V_{lambda_i}$.