Caratterizzazione degli automorfismi

[Trivroach]

Salve. Cosa si intende per caratterizzazione degli automorfismi di uno spazio vettoriale finitamente generato (con eventuale dimostrazione correlata)?

Sul mio libro a parte la definizione di automorfismo c'è poco altro. Su internet non ho trovato nulla di specifico a riguardo. Vi ringrazio se potete aiutarmi

[killing_buddha]

SE $X$ e' un insieme un automorfismo di $X$ e' una funzione biiettiva da $X$ in se'; se $X$ ha anche una struttura aggiuntiva, per esempio una operazione binaria $X\times X\to X$, un automorfismo rispetto a quella struttura e' una funzione biiettiva che preserva l'operazione.
Per esempio un automorfismo di gruppi, di moduli su un anello, di spazi topologici.

Dato che le funzioni che preservano la struttura di spazio vettoriale sono le funzioni lineari, e incarnando la definizione sopra in una funzione lineare e biiettiva da $V$ in se' stesso, per "caratterizzazione degli automorfismi di uno spazio vettoriale finitamente generato" si intende nientepopodimenoche' la determinazione del gruppo $GL_n(k)$, se $V$ e' spazio vettoriale sul campo $k$ e $n=\dim(V)$.

[Trivroach]

Ok, dunque la dimostrazione di questo fatto consiste nel dimostrare che il gruppo lineare generale $ GL(V) $ di uno spazio vettoriale $ V $ su un campo $ K $ è un gruppo?

Ti ringrazio.

[killing_buddha]

Questo fatto non richiede dimostrazione, e' una definizione; il resto dipende da cosa ti viene chiesto.
"Caratterizzare" un gruppo significa diverse cose.
Darne generatori e relazioni (in questo caso, dimenticatelo.
Caratterizzarne degli "invarianti completi" di qualche tipo (non credo sia questo il caso perche' l'esercizio sembra elementare).