Carattere tensoriale preservato da un operatore
Supponiamo di avere un oggetto a, e di avere un operatore F invariante in forma per cambiamenti di base. Supponiamo infine di sapere che F(a) e un tensore di rango n. C'è una dimostrazione che anche a deve essere un tensore di rango n?
Vorrei una risposta rigorosa (geometria differenziale).
Questa questione mi e sorta studiando un certo argomento di fisica (non vi dico quale: provate a indovinarlo. Sappiate che F e il dalambertiano).
Vorrei una risposta rigorosa (geometria differenziale).
Questa questione mi e sorta studiando un certo argomento di fisica (non vi dico quale: provate a indovinarlo. Sappiate che F e il dalambertiano).
Risposte
up
"newton_1372":What do you mean? Cosa intendi?
Supponiamo di avere un oggetto a, e di avere un operatore F invariante in forma per cambiamenti di base...
Va bene tiro giu la maschera.
so che
$\square A = j$
Dove $\square$ e l'operatore Dalambertiano, j e un quadrivettore (R4 munito con la metrica di Minkowsky che trasforma con Lorentz). So inoltre che l'operatore dalambertiano rimane immutato per cambiamento di riferimento ovvero
$\square'=\square$
La domanda e: come si dimostra che anche A deve trasformare come un 4vettore?
Dalle proprietà di trasformazione ricavo che
$(\square A)'=\square' A' = \square A'$
E anche
$ (\square A)' = M \square A$
Uguagliando
$\square A' = \square MA$
La tesi sarebbe A'= MA, che proverebbe che A e un 4vettore. Ma come la mettiamo col Dalambertiano? Dal punto di vista tensoriale esso e uno scalare, ma non e un numero che posso semplificare...come lo gestisco per arrivare alla tesi?
so che
$\square A = j$
Dove $\square$ e l'operatore Dalambertiano, j e un quadrivettore (R4 munito con la metrica di Minkowsky che trasforma con Lorentz). So inoltre che l'operatore dalambertiano rimane immutato per cambiamento di riferimento ovvero
$\square'=\square$
La domanda e: come si dimostra che anche A deve trasformare come un 4vettore?
Dalle proprietà di trasformazione ricavo che
$(\square A)'=\square' A' = \square A'$
E anche
$ (\square A)' = M \square A$
Uguagliando
$\square A' = \square MA$
La tesi sarebbe A'= MA, che proverebbe che A e un 4vettore. Ma come la mettiamo col Dalambertiano? Dal punto di vista tensoriale esso e uno scalare, ma non e un numero che posso semplificare...come lo gestisco per arrivare alla tesi?
Un operatore possiede un dominio e un codominio come ogni altra funzione. Pertanto, forse non ci avrai mai ragionato su, ma qual'è il dominio dell'operatore di d'Alambert? Insomma su che oggetti agisce?
Venendo invece alla seconda parte, non ho dimestichezza con quella parte della fisica per rispondere con certezza, ma raramente \(Fa = Fb\) implica \(a = b\) (insomma a meno che la funzione/l'operatore non sia iniettivo).
Venendo invece alla seconda parte, non ho dimestichezza con quella parte della fisica per rispondere con certezza, ma raramente \(Fa = Fb\) implica \(a = b\) (insomma a meno che la funzione/l'operatore non sia iniettivo).
Una cosa mi pare sicura: il dalambertiano non e iniettivo. Quindi come posso fare per dimostrare che A e un quadrivettore? I libri questo passaggio lo sottendono completamente
up
Come ti ho già detto un operatore possiede un dominio, ovvero agisce su qualcosa. Prova a pensare a che genere di oggetto devi avere affinché tu possa usarci sopra l'operatore di d'Alambert.
Non ho ben capito quanto mi dici; quello che mi piacerebbe è che mi si convincesse che $A^\mu$ è un 4vettore, ovvero che trasforma con la ttessa matrice con cui trasforma $j=(\rho c, \vec j)$, una volta che si sappia che
$\square A = j$ 1).
$\square =\square'$ 2).
$j' = Mj$ 3)
dove M è la trasf. di Lorentz.
Quello a cui so arrivare è
$\square A' = \square MA$
I testi di fisica (tutti) tagliano corto dicendo che dalla 1) si vede subito che A è un quadrivettore. Ma a me non convince perchè $\square$ è un operatore...
Mi convincereste che è corretto (se lo è) "semplificare formalmente" lo $\square$?
So che probabilmente fate difficoltà a capirmi, ma sono le stesse difficoltà di comprensione che ho io quando leggo un testo di fisica.
Ho visto in giro che c'è un teorema di geometria diff, in inglese chiamato "quotient theorem", che sembra "dedurre" le proprietà tensoriali di un oggetto B che soddisfa una relazione del tipo $AB=C$, laddove siano note le proprietà di trasformazione di A e C, ma il problema è che nella dimostrazione si usa il fatto che A e C possano assumere valori arbitrari, mentre laddove vorrei usarlo io, $\square$ è un operatore, è una scrittura formale che indica delle derivate...
$\square A = j$ 1).
$\square =\square'$ 2).
$j' = Mj$ 3)
dove M è la trasf. di Lorentz.
Quello a cui so arrivare è
$\square A' = \square MA$
I testi di fisica (tutti) tagliano corto dicendo che dalla 1) si vede subito che A è un quadrivettore. Ma a me non convince perchè $\square$ è un operatore...
Mi convincereste che è corretto (se lo è) "semplificare formalmente" lo $\square$?
So che probabilmente fate difficoltà a capirmi, ma sono le stesse difficoltà di comprensione che ho io quando leggo un testo di fisica.
Ho visto in giro che c'è un teorema di geometria diff, in inglese chiamato "quotient theorem", che sembra "dedurre" le proprietà tensoriali di un oggetto B che soddisfa una relazione del tipo $AB=C$, laddove siano note le proprietà di trasformazione di A e C, ma il problema è che nella dimostrazione si usa il fatto che A e C possano assumere valori arbitrari, mentre laddove vorrei usarlo io, $\square$ è un operatore, è una scrittura formale che indica delle derivate...
A è il quadrivettore per eccellenza poichè le trasformazioni di Lorentz sono state ricavate proprio per rendere A tale. Insomma le galileiane non andavano bene perchè rendevano le leggi non covarianti, quindi semplicemente Lorentz imponendo che lo fossero ha trovato le trasformazioni.
Tu stai praticamente chiedendo il procedimento inverso, ossia supponendo di avere a priori le trasformazioni, mostrare che A è un quadrivettore. Se vuoi già sai che j è un quadrivettore e il D'Alambertiano è scalare di Lorentz, quindi necessariamente dato che vale quell'uguaglianza avrai che A è un quadrivettore.
Insomma quell'uguaglianza DEVE essere vera all'interno dell'elettrodinamica classica, no? Allora Dato che a=b e b 4vettore <=> a quadrivettore implica che anche A lo sia.
Non so se funziona, a primo impatto direi di si. Chiaro che dovresti entrare dentro la teoria degli operatori differenziali e mostrare che se un operatore è scalare di Lorentz, ossia inviariante relativistico, allora applicando quell'operatore ad un 4vettore ottieni ancora un 4vettore.
Tu stai praticamente chiedendo il procedimento inverso, ossia supponendo di avere a priori le trasformazioni, mostrare che A è un quadrivettore. Se vuoi già sai che j è un quadrivettore e il D'Alambertiano è scalare di Lorentz, quindi necessariamente dato che vale quell'uguaglianza avrai che A è un quadrivettore.
Insomma quell'uguaglianza DEVE essere vera all'interno dell'elettrodinamica classica, no? Allora Dato che a=b e b 4vettore <=> a quadrivettore implica che anche A lo sia.
Non so se funziona, a primo impatto direi di si. Chiaro che dovresti entrare dentro la teoria degli operatori differenziali e mostrare che se un operatore è scalare di Lorentz, ossia inviariante relativistico, allora applicando quell'operatore ad un 4vettore ottieni ancora un 4vettore.
Non vi è alcun procedimento inverso o cose simili. Vi state davvero perdendo in un bicchiere d'acqua. Gli operatori non nascono dal nulla, hanno una definizione e questa definizione è valida solo per alcune tipologie di oggetti (la definizione generalmente cambia a seconda dell'oggetto). Quindi non esiste alcun operatore che agisce su oggetti sconosciuti e nessuna necessità di tirare in ballo la teoria degli operatori. Insomma non ha senso chiedersi se l'oggetto su cui la derivata agisce sia una funzione (seppur abbia senso chiedersi se una funzione derivabile si anche continua, ma questo solo perché la definizione di derivata dipende dall'esistenza del rapporto incrementale).
Quindi vi invito a riflettere su che oggetti l'operatore di d'Alambert è stato definito. Seppur sia probabilmente sufficiente andare a leggersi la definizione.
Quindi vi invito a riflettere su che oggetti l'operatore di d'Alambert è stato definito. Seppur sia probabilmente sufficiente andare a leggersi la definizione.
Cheetan purtroppo non mi convince. Dal tuo ragionamento ricavo che $\square A$ e un quadrivettore. Che lo sia anche A, come lo dimostro?
Si potrebbe usare l'invarianza del dalambertiano; allora scriverei
D'A'= DA'
e anche
D'A'= LDA
Dove L e lorentz, uso il fatto che DA e un 4vettore. Uguaglia di
LDA=DA'.
Come vedi se non faccio sparire quella D tenendo presente che D non e una lista di numeri, ma un 4operatore, non c'è verso di arrivare a A'=LA che e quello che vorrei...
Si potrebbe usare l'invarianza del dalambertiano; allora scriverei
D'A'= DA'
e anche
D'A'= LDA
Dove L e lorentz, uso il fatto che DA e un 4vettore. Uguaglia di
LDA=DA'.
Come vedi se non faccio sparire quella D tenendo presente che D non e una lista di numeri, ma un 4operatore, non c'è verso di arrivare a A'=LA che e quello che vorrei...
Certo che si può anche se non è un numero, basta sfruttare la linearità di L:
LDA=DLA
Questo lo puoi fare non solo perchè L è lineare ma anche perchè D è invariante sotto L. Quindi:
D(LA)=D(A')
<=>
LA=A'
LDA=DLA
Questo lo puoi fare non solo perchè L è lineare ma anche perchè D è invariante sotto L. Quindi:
D(LA)=D(A')
<=>
LA=A'
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