Capire la definizione di aperto semplicemente connesso
Rgazzi, sto studiando le forme differenziali e vorrei capire alcune cose:
allora innanzitutto capire da un punto sdi vista pratico che cosa significa aperto semplicemente connesso: cioè raga se vedo una figura disegnata come faccio a capie a "occhio" che quello è un aperto semplicemnte connesso?
2)Ho questa forma differenziale:
$\omega=(2xy)/(1+x^2)^2dx- 1/(1+x^2)dy$: allora mi dite voi come faccio a capire che il dominio è un rettangolo aperto?
So riconoscere le equazioni parametriche di ellisse, circonferenza ma non so proprio nulla di un rettangolo aperto.
3)ma quando devo usare un metodo di integrazione lungo una curva anche per un rettangolo aperto posso scegliere due segmenti di qualsiasi misura e a casaccio basta che stiano nel dominio?
4)vi propongo questa cosa:
ho questa forma diff:$\omega=(2xy)/(1+x^2)^2dx- 1/(1+x^2)dy$(quella di prima...)allora la prof si calcola la primitiva così:
$(\varthetaf)/(\varthetax)= (\vartheta xy)/(1+x^2)^2=(2xy)/(1+x^2)^2 +g'(x)$
$(\varthetaf)/(\varthetay)=-(1/(1+x^2))=f(x,y)=-y/(1+x^2)+g(x)$. Per la seconda mi trovo, ma per la prima come ha fatto?
5)Raga la cosa più importante: come faccio a capire che una forma differenziale è esatta?
Cioè io so solo che $(\varthetaf)/(\varthetax)(x,y)=a(x,y) (\varthetaf)/(\varthetay)(x,y)=b(x,y)$, ma io non ci ho capito un bel niente.
Spero nel vostro aiuto.
Grazie
allora innanzitutto capire da un punto sdi vista pratico che cosa significa aperto semplicemente connesso: cioè raga se vedo una figura disegnata come faccio a capie a "occhio" che quello è un aperto semplicemnte connesso?
2)Ho questa forma differenziale:
$\omega=(2xy)/(1+x^2)^2dx- 1/(1+x^2)dy$: allora mi dite voi come faccio a capire che il dominio è un rettangolo aperto?
So riconoscere le equazioni parametriche di ellisse, circonferenza ma non so proprio nulla di un rettangolo aperto.
3)ma quando devo usare un metodo di integrazione lungo una curva anche per un rettangolo aperto posso scegliere due segmenti di qualsiasi misura e a casaccio basta che stiano nel dominio?
4)vi propongo questa cosa:
ho questa forma diff:$\omega=(2xy)/(1+x^2)^2dx- 1/(1+x^2)dy$(quella di prima...)allora la prof si calcola la primitiva così:
$(\varthetaf)/(\varthetax)= (\vartheta xy)/(1+x^2)^2=(2xy)/(1+x^2)^2 +g'(x)$
$(\varthetaf)/(\varthetay)=-(1/(1+x^2))=f(x,y)=-y/(1+x^2)+g(x)$. Per la seconda mi trovo, ma per la prima come ha fatto?
5)Raga la cosa più importante: come faccio a capire che una forma differenziale è esatta?
Cioè io so solo che $(\varthetaf)/(\varthetax)(x,y)=a(x,y) (\varthetaf)/(\varthetay)(x,y)=b(x,y)$, ma io non ci ho capito un bel niente.
Spero nel vostro aiuto.
Grazie
Risposte
E' semplicemente connesso se "è formato da un pezzo solo e non ha buchi", più semplice di così...
Una f.diff è esatta se esiste una funzione il cui differenziale è proprio la f.diff.
Altrimenti usi il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte se stai in un connesso. Infine se ciò nn ti è d'aiuto...è esatta se è chiusa in un rettangolo aperto o in uno spazio semplicemente connesso.
Per tutto il resto, se per favore riaggiusti le formule. perchè sono tutte scritte male: attenzione quando scrivi$(\partialf)/(\partialy)$ !!!
Una f.diff è esatta se esiste una funzione il cui differenziale è proprio la f.diff.
Altrimenti usi il teorema di caratterizzazione delle forme differenziali esatte se stai in un connesso. Infine se ciò nn ti è d'aiuto...è esatta se è chiusa in un rettangolo aperto o in uno spazio semplicemente connesso.
Per tutto il resto, se per favore riaggiusti le formule. perchè sono tutte scritte male: attenzione quando scrivi$(\partialf)/(\partialy)$ !!!
cmq adesso mi spiego meglio su alcune cose:
se ho $\omega=3x^2dx+xy^2dy$
dice che non esiste f(x,y) differenziabile in $R^2: (\varthetaf)/(\varthetax)=a,(\varthetaf)/(\varthetay)=b$
$(\varthetaf)/(\varthetax)(x,y)=3x^2, (\varthetaf)/(\varthetay)(x,y)=xy^2$
integrando rispetto a x si ottiene f(x,y)=x^3+g(y) con g funzione costante rispetto a x(come si capisce che è costante?) rispettoa x e derivabile.
Allora la derivata parziale di f rispetto a y varrebbe (\varthetaf)/(\varthetay)=g'(y), cioè sarebbe costante rispetto a x, il chè è assurdo.Ho capito che ha fatto le derivate parziali ma il resto proprio non mi entra...spiegami un pò tu
Poi per favore dammi qualche indizio su come capire che il dominio è un rettangolo altrimenti finisce che lo prendo per un'altra figura(mm che disastro
)
Grazie per tutto
se ho $\omega=3x^2dx+xy^2dy$
dice che non esiste f(x,y) differenziabile in $R^2: (\varthetaf)/(\varthetax)=a,(\varthetaf)/(\varthetay)=b$
$(\varthetaf)/(\varthetax)(x,y)=3x^2, (\varthetaf)/(\varthetay)(x,y)=xy^2$
integrando rispetto a x si ottiene f(x,y)=x^3+g(y) con g funzione costante rispetto a x(come si capisce che è costante?) rispettoa x e derivabile.
Allora la derivata parziale di f rispetto a y varrebbe (\varthetaf)/(\varthetay)=g'(y), cioè sarebbe costante rispetto a x, il chè è assurdo.Ho capito che ha fatto le derivate parziali ma il resto proprio non mi entra...spiegami un pò tu
Poi per favore dammi qualche indizio su come capire che il dominio è un rettangolo altrimenti finisce che lo prendo per un'altra figura(mm che disastro
)Grazie per tutto
HAHAH è lo stesso esempio dei miei appunti, quindi per forza devi utilizzare il MARCELLINI-SBORDONE! Quella è una dimostrazione per dire che NON è VERO che tutte le f.differenziali sono esatte, perchè non sempre esiste una funzione il cui differenziale coincide con la f.diff. in quel caso hai quella g costante rispetto a x perchè sarebbe la costante che ti esce fuori dal'integrale. La cui costante te la ricavi ponendo Fx+g(y)=Fy [lo stesso metodo che utilizzi per ricavarti la primitiva]; ora se integri i due termini hai $x^3 + phi(y)=x^3y^2$ e non puoi isolarti la costante e porla nell'integrale del primo termine per trovarti la primitiva.
L'esercizio, analogamente a quello che ho detto, ti fà notare che $g'(y)=f_y$ ma $(\partialf)/(\partialy)=x^3y$ NON dipende solo da y, e quindi non puoi calcolarti $phi(y)$ e quindi la primitiva.
La primitiva la calcoli così $inta(x,y)dx + phi(y)$ la $phi$ te la calcoli isolandola da qui: $(\partialinta(x,y)dx)/(\partialy)+phi'(y)=b(x,y)$
Comunque guarda che il dominio se è un rettangolo o te lo costruisci tu per isolare il punto o il segmento che fà perdere la proprietà di essere semplicemente connesso l'insieme oppure ti viene dato dall'esercizio, insomma NON è insito nella funzione! Non esce fuori da nessun'altra parte che non sia la traccia o una tua costruzione.
Per favore non fare troppe domande insieme, mi risulta difficile risponderti, visto che hai sintetizzato le domande di un terzo del mio programma.
Una domanda: studi a Napoli, se si, in quale CdL?
L'esercizio, analogamente a quello che ho detto, ti fà notare che $g'(y)=f_y$ ma $(\partialf)/(\partialy)=x^3y$ NON dipende solo da y, e quindi non puoi calcolarti $phi(y)$ e quindi la primitiva.
La primitiva la calcoli così $inta(x,y)dx + phi(y)$ la $phi$ te la calcoli isolandola da qui: $(\partialinta(x,y)dx)/(\partialy)+phi'(y)=b(x,y)$
Comunque guarda che il dominio se è un rettangolo o te lo costruisci tu per isolare il punto o il segmento che fà perdere la proprietà di essere semplicemente connesso l'insieme oppure ti viene dato dall'esercizio, insomma NON è insito nella funzione! Non esce fuori da nessun'altra parte che non sia la traccia o una tua costruzione.
Per favore non fare troppe domande insieme, mi risulta difficile risponderti, visto che hai sintetizzato le domande di un terzo del mio programma.
Una domanda: studi a Napoli, se si, in quale CdL?
si colpito in pieno maledetto marcellini sbordone o forse sono io che sono ignorante
si studio a napoli ing informatica
si studio a napoli ing informatica
io elettronica, sempre e solo FORZA AGNANO! a quanto pare stiamo tutti nella stessa situazione, reduci nell'ultimo appello della finestra d'esame..sarà colpa della fiodo (hai lei vero)??
senti scusami però ho questo esercizio del compito che non so nemmeno da dove cominciare
Allora data la forma differenziale $\omega=[(-3x^2)/(y-x^3) - sen(x-y)]dx+[1/(y-x^3)+sen(x-y)]dy$ si determini il suo insieme di definizione A e si dica quali delle segueni affermazioni sono vere e perchè:
a) A è un aperto
b)A è un aperto connesso
c)A è un aperto semplicemente connesso;
d)$\omega$ è esatta in A
allora l'insieme di definizione secondo me è $y!=x^3$, poi non so proprio come muovermi, come faccio a sapere se A è un aperto....
Allora data la forma differenziale $\omega=[(-3x^2)/(y-x^3) - sen(x-y)]dx+[1/(y-x^3)+sen(x-y)]dy$ si determini il suo insieme di definizione A e si dica quali delle segueni affermazioni sono vere e perchè:
a) A è un aperto
b)A è un aperto connesso
c)A è un aperto semplicemente connesso;
d)$\omega$ è esatta in A
allora l'insieme di definizione secondo me è $y!=x^3$, poi non so proprio come muovermi, come faccio a sapere se A è un aperto....
no d'auria, però lo si fa nello stesso giorno e fanno pure gli stessi compiti, scommetto che te hai il mazzo di fotocopie dei compiti di d'auria e fiodo
mmm no io ho la giannetti... che è tosta mille volte la fiodo, anche se ultimamente sta mettendo dei compiti semplicissimi allo scritto, e per questo la devono santificare! Comunque se ti serve materiale, voi di informatica avete un portale vostro per scambiarvi appunti, e poi ci sta un sacco di roba su webdocenti, già hai controllato?
Riguardo l'esercizio, nn l'ho mai fatto un problema del genere, comunque dovresti prescindere dalle definizioni, per esempio, è aperto se ogni intorno del punto (qualsiasi esso sia, sempre appartenente ad A) cade interamente in A,...
Connesso, lo è se non esistono due insiemi aperti non vuoti e disgiunti la cui unione dia A, ho dei dubbi perchè dovrebbe esistere una linea spezzata che congiunga due punti qualsiasi interamente contenuta in A.
Sempl connesso, maccheronicamente un pezzo solo e senza buchi, non mi trovo, e non può esistere una retta che congiunge i due pezzi, nè puoi isolare i punti che ti fanno perdere tali proprietà essendo la cubica definita in tutto R^2
Per essere esatta dovrebbe essere chiusa in un aperto sempl connesso...con i dati che hai te..
Senti mi spiace ma non so aiutarti, comunque può risultarti utile ciò: http://groups.google.com/group/it.scien ... 0b6bc28e08
Riguardo l'esercizio, nn l'ho mai fatto un problema del genere, comunque dovresti prescindere dalle definizioni, per esempio, è aperto se ogni intorno del punto (qualsiasi esso sia, sempre appartenente ad A) cade interamente in A,...
Connesso, lo è se non esistono due insiemi aperti non vuoti e disgiunti la cui unione dia A, ho dei dubbi perchè dovrebbe esistere una linea spezzata che congiunga due punti qualsiasi interamente contenuta in A.
Sempl connesso, maccheronicamente un pezzo solo e senza buchi, non mi trovo, e non può esistere una retta che congiunge i due pezzi, nè puoi isolare i punti che ti fanno perdere tali proprietà essendo la cubica definita in tutto R^2
Per essere esatta dovrebbe essere chiusa in un aperto sempl connesso...con i dati che hai te..
Senti mi spiace ma non so aiutarti, comunque può risultarti utile ciò: http://groups.google.com/group/it.scien ... 0b6bc28e08
"75america":
a) A è un aperto
b) A è un aperto connesso
c) A è un aperto semplicemente connesso;
d) $\omega$ è esatta in A
La tua forma differenziale è definita su $A = RR^2 "/" {(x,y) in RR^2 ; y = x^3}$, cioè A è tutto il piano senza la curva $y=x^3$. Quindi
a) Vero. A è il complementare di un chiuso. Oppure per ogni punto di A puoi costruire un intorno circolare tutto contenuto in A.
b) Falso. A è l'unione disgiunta di due aperti, uno che sta sotto $y=x^3$ e uno che sta sopra. Oppure prendi due punti uno sopra e uno sotto al grafico di $y=x^3$ e siccome non puoi trovare una curva continua che parta da uno e arrivi nell'altro ne concludi che non è connesso.
c) Falso. Se un insieme non è connesso non può essere semplicemente connesso.
d) Falso. Ammettendo che la forma differenziale sia chiusa (cioè che per la forma $ \omega = f_x dx + f_y dy $ valgano le condizioni
$\frac{\partial f_x}{\partial y} = \frac{\partial f_y}{\partial x}$ ), e non ho fatto il calcolo ma a occhio direi che è così, lo è in dominio che non è semplicemente connesso, quindi non vale il teorema.
ciao, scusami se ti faccio queste domande manon ho capito.
allora ho diesgnato la curva $y=x^3$ adesso però non so nulla del resto cioè non capisco il grafico di questa forma differenziale.
Allora te dici che A è aperto, posso costruire un intorno circolare tuto contenuto in A, cioè praticamente disegnando sul foglio che significa?
che posso prendere un punto interno alla curva $y=x^3$ e dire che un suo intorno anche piccolissimo entra in A e allora scusa ma quale insieme non sarebbe aperto se posso prendere un punto qualsiasi interno ad esso e dire che esiste un suo intorno(anche piccolissimo).
se mi vuoi far capire la definizione, io so solo che la circonferenza+il suo cerchio interno insieme costituiscono un insieme chiuso.
b) poi mi dici che non è connesso perchè è l'unione di due disgiunti uno sotto il grafico di $y=x^3$ e l'altro sopra, poi dici che non esiste una curva continua che parta da un punto sotto la curva e arrivi a un altro punto dentro la curva, ma perchè non si possono disegnare?
mi puoi spiegare praticamente perchè io con tute le definizioni non ci arrivo, grazie mille
allora ho diesgnato la curva $y=x^3$ adesso però non so nulla del resto cioè non capisco il grafico di questa forma differenziale.
Allora te dici che A è aperto, posso costruire un intorno circolare tuto contenuto in A, cioè praticamente disegnando sul foglio che significa?
che posso prendere un punto interno alla curva $y=x^3$ e dire che un suo intorno anche piccolissimo entra in A e allora scusa ma quale insieme non sarebbe aperto se posso prendere un punto qualsiasi interno ad esso e dire che esiste un suo intorno(anche piccolissimo).
se mi vuoi far capire la definizione, io so solo che la circonferenza+il suo cerchio interno insieme costituiscono un insieme chiuso.
b) poi mi dici che non è connesso perchè è l'unione di due disgiunti uno sotto il grafico di $y=x^3$ e l'altro sopra, poi dici che non esiste una curva continua che parta da un punto sotto la curva e arrivi a un altro punto dentro la curva, ma perchè non si possono disegnare?
mi puoi spiegare praticamente perchè io con tute le definizioni non ci arrivo, grazie mille
cioè io ho capito questo :
un A è aperto connesso se è costituito da un solo pezzo, è un aperto semplicemente connesso se non ci sono buchi ad esempio la circonferenza senza il cerchio interno il toro(che invece non sono semplicemente connessi)
in parole povere come faccio a capire dalla funzione differenziale che è definita in un aperto (connesso, sempli. connesso) con al massimo il solo uso del grafico(che però dovrei sapere come si fa)....
grazie
un A è aperto connesso se è costituito da un solo pezzo, è un aperto semplicemente connesso se non ci sono buchi ad esempio la circonferenza senza il cerchio interno il toro(che invece non sono semplicemente connessi)
in parole povere come faccio a capire dalla funzione differenziale che è definita in un aperto (connesso, sempli. connesso) con al massimo il solo uso del grafico(che però dovrei sapere come si fa)....
grazie
Graficamente: Chiuso se è formato dal cerchio (pieno) + circonferenza, se levi la circonferenza diventa aperto; in genere si disegna: cerchio continuo se è chiuso e cerchio tratteggiato se è aperto. Sempre graficamente dire che è aperto, vuol dire che se prendi un punto interno e ci fai un cerchietto intorno, esso è sempre contenuto nell'insieme (perchè manca della "frontiera", perchè l'insieme è privo della circonferenza esterna, per capire meglio continua a leggere) , se fosse chiuso, potresti prendere un punto sulla circonferenza (che chiameremo FRONTIERA) e disegnando un cerchietto (detto INTORNO) vedrai che per metà il cerchietto è contenuto nell'insieme e metà è contenuto fuori ( ovvero nel COMPLEMENTARE).
Continuando, è connesso, se tu puoi prendi due punti a caso dell'insieme, e li unisci con una spezzata o una curva, e vedi che la linea che tracci per congiungere questi due punti presi a caso, non esce fuori all'insieme che stai considerando, infatti nel caso tuo di sopra, se provassi a congiungere, per esempio, due punti che si trovano uno a destra della x^3 e uno a sinistra vedrai che necessariamente il tuo tratto di penna si interseca con x^3 che come hai giustamente detto NON appartiene al dominio e quindi non appartiene all'insieme considerato, quindi ricapitolando la linea che hai tracciato NON è contenuta propriamente in A, infatti deve necessariamente passare per 1 punto non di A (ma di x^3).
BUONO A SAPERSI...
Riguardo i semplicemente connessi, se tu cerchi di verificare l'esattezza di una f.diff in un semplicemente connesso come per esempio una corona circolare (il toro che dici tu è in R^3, qui siamo ancora in R^2) , se tu integri lungo una circonferenza che crei tu, che ti permette di circondare il buco interno della corona circolare, vedrai che la f.diff è ancora esatta e l'integrale curvilineo è nullo. Lo stesso vale in altri insiemi che perdono la proprietà di essere semplicemente connessi per un segmento, per più punti ma NON per una retta o semiretta o fasce varie.
Fammi sapere.
Continuando, è connesso, se tu puoi prendi due punti a caso dell'insieme, e li unisci con una spezzata o una curva, e vedi che la linea che tracci per congiungere questi due punti presi a caso, non esce fuori all'insieme che stai considerando, infatti nel caso tuo di sopra, se provassi a congiungere, per esempio, due punti che si trovano uno a destra della x^3 e uno a sinistra vedrai che necessariamente il tuo tratto di penna si interseca con x^3 che come hai giustamente detto NON appartiene al dominio e quindi non appartiene all'insieme considerato, quindi ricapitolando la linea che hai tracciato NON è contenuta propriamente in A, infatti deve necessariamente passare per 1 punto non di A (ma di x^3).
BUONO A SAPERSI...
Riguardo i semplicemente connessi, se tu cerchi di verificare l'esattezza di una f.diff in un semplicemente connesso come per esempio una corona circolare (il toro che dici tu è in R^3, qui siamo ancora in R^2) , se tu integri lungo una circonferenza che crei tu, che ti permette di circondare il buco interno della corona circolare, vedrai che la f.diff è ancora esatta e l'integrale curvilineo è nullo. Lo stesso vale in altri insiemi che perdono la proprietà di essere semplicemente connessi per un segmento, per più punti ma NON per una retta o semiretta o fasce varie.
Fammi sapere.
wa sei un grande ho capito perchè non è connesso adesso è chiaro, grazie veramente.
ah ovviamente se non è connesso non è nemmeno semplicemente connesso(ovvero ci sono dei buchi),giusto?
LipschitzianaMente scusa allora l'altro utente alle.fabbr sull'esattezza o meno della fdiff. ha subito pensato al fatto che la forma differenziale se non è chiusa, non è esatta, ma questo si può calcolare per le forme differenziali di classe $C^1$, ma mi puoi spiegare come si fa a capire che è di classe $C^1$ enon di $C^0$ perchè io so la definizione: $c^0$ insieme delle funzioni continue in A, $c^1$ insieme delle f continue derivabili in A con derivate parziali continue,ma scusa
se prendo tipo $(-3x^2)$ non è derivabile due volte mica solo una quindi non potrebbe appartenere a $c^2$, forse perchè $sen(x-y)$ è derivabile solo una volta,è così?
Grazie cmq per il tuo aiuto
ah ovviamente se non è connesso non è nemmeno semplicemente connesso(ovvero ci sono dei buchi),giusto?
LipschitzianaMente scusa allora l'altro utente alle.fabbr sull'esattezza o meno della fdiff. ha subito pensato al fatto che la forma differenziale se non è chiusa, non è esatta, ma questo si può calcolare per le forme differenziali di classe $C^1$, ma mi puoi spiegare come si fa a capire che è di classe $C^1$ enon di $C^0$ perchè io so la definizione: $c^0$ insieme delle funzioni continue in A, $c^1$ insieme delle f continue derivabili in A con derivate parziali continue,ma scusa
se prendo tipo $(-3x^2)$ non è derivabile due volte mica solo una quindi non potrebbe appartenere a $c^2$, forse perchè $sen(x-y)$ è derivabile solo una volta,è così?
Grazie cmq per il tuo aiuto
Giusto se è sconnesso non può essere sempl connesso. Per quanto riguarda la seconda domanda, ehem.., non l'ho capita... "non è derivabile due volte mica solo una".
allora $\omega=[(-3x^2)/(y-x^3) - sen(x-y)]dx+[1/(y-x^3)+sen(x-y)]dy$ vorrei capire se è una f. diff di classe c^0 o c^1 perchè se è di c^1 col fatto che dico che non è chiusa non è comunque esatta,quello che ti avevo chiesto prima è perchè può essere di classe c^1 enon c^2 perchè forse non tutto ciò che c'è dentro è derivabile due volte?
ah ti posto un altro esercizio, voglio vede se ho capito:
allora $\omega= x/(sqrt(x^2+y))dx + 1+1/(2sqrt(x^2+y))$
allora il suo insieme è $R^2-y=-x^2$ almeno credo... è una parabola ivolta verso il basso con vertice in(0,0)
sicuramente A è aperto, ma non è connesso perchè se prendo due punti uno a sinistra e uno a destra della parabola cmq il segmento o la curva dovranno per forza passare per dentro la parabola(anche perchè la parabola non finisce mai).. e così?
senti poi l'esercizio dice calcolare $int_\phi\omega$ dove $\phi$ è una curva il cui sostegno congiunge i punti A=(1,1) e B=(2,3) nel verso da B ad A.
Allora imposto anche l'integrale curvilineo $int_\phi\omega=int_\phi x/(sqrt(x^2+y)) dx + 1+1/(2sqrt(x^2+y))dy$ ma poi...
ah ti posto un altro esercizio, voglio vede se ho capito:
allora $\omega= x/(sqrt(x^2+y))dx + 1+1/(2sqrt(x^2+y))$
allora il suo insieme è $R^2-y=-x^2$ almeno credo... è una parabola ivolta verso il basso con vertice in(0,0)
sicuramente A è aperto, ma non è connesso perchè se prendo due punti uno a sinistra e uno a destra della parabola cmq il segmento o la curva dovranno per forza passare per dentro la parabola(anche perchè la parabola non finisce mai).. e così?
senti poi l'esercizio dice calcolare $int_\phi\omega$ dove $\phi$ è una curva il cui sostegno congiunge i punti A=(1,1) e B=(2,3) nel verso da B ad A.
Allora imposto anche l'integrale curvilineo $int_\phi\omega=int_\phi x/(sqrt(x^2+y)) dx + 1+1/(2sqrt(x^2+y))dy$ ma poi...
Questo genere di problemi è di solito un po' ambiguo. Quando dici che una forma diff è esatta (cioè è un campo conservativo, se vuoi un'analogia più "fisica"...) stai fornendo 2 informazioni: un dominio semplicemente connesso (cioè, intuitivamente, un aperto senza buchi) in cui la forma è chiusa (cioè soddisfa le condizioni del mio post precedente). Adesso pensa al 2° problema. Se prendiamo il dominio "naturale" (attento che dominio naturale non è un concetto matematico, vuol semplicemente dire togli da $RR^2$ i punti in cui la funzione non è definita ) della forma diff, quindi $RR^2$ meno la parabola, abbiamo che la forma non è esatta perchè è chiusa ma in un dominio che non è semplicemente connesso. Per quanto riguarda la seconda parte, i punti A e B sono nel semipiano positivo delle y. Quindi, per capirci, stanno entrambi "sopra" alla parabola. Ora rifatti la stessa domanda sull'esattezza della forma differenziale, prendendo come insieme di definizione solo $A' = {(x,y) in RR^2 ; y > - x^2}$ cioè tutti i punti sopra alla parabola. A' è aperto? è semplicemente connesso?
In generale, poi, se devi calcolare degli integrali di linea di forme diff esatte, di solito, ti vengono dati solo gli estremi della curva (come nel tuo esempio). Questo perchè gli integrali di linea delle f diff esatte non dipendono dal percorso, quindi puoi scegliere tu la curva che preferisci per congiungere gli estremi. Nel tuo caso, la scelta migliore è una spezzata che va da A=(1,1), ad un punto intermedio C=(2,1), e da C al punto finale B=(2,3). Così facendo, puoi scrivere (e calcolare) l'integrale di linea per come lo hai scritto tu.
Spero sia tutto chiaro....non esitare a chiedere delucidazioni se così non fosse....ciao!
In generale, poi, se devi calcolare degli integrali di linea di forme diff esatte, di solito, ti vengono dati solo gli estremi della curva (come nel tuo esempio). Questo perchè gli integrali di linea delle f diff esatte non dipendono dal percorso, quindi puoi scegliere tu la curva che preferisci per congiungere gli estremi. Nel tuo caso, la scelta migliore è una spezzata che va da A=(1,1), ad un punto intermedio C=(2,1), e da C al punto finale B=(2,3). Così facendo, puoi scrivere (e calcolare) l'integrale di linea per come lo hai scritto tu.
Spero sia tutto chiaro....non esitare a chiedere delucidazioni se così non fosse....ciao!
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