Cap product e integrali
Il testo di Allen Hatcher (Algebraic Topology, pg.239, disponibile sulla pagina dell'autore) spiega molto bene l'operazione di cap product nel caso di omologia e coomologia singolari (e in particolare simpliciali).
Tuttavia, a quel che ho capito, questa operazione consiste essenzialmente nell'integrare una forma su una sottovarieta'. In particolare, se $N$ e' una varieta' di dimensione $n$ (compatta, orientabile e tutto quanto), una sua sottovarieta' $M$ di dimensione $m$ definisce una classe $[M]$ in omologia data dalla somma di tutti i simplessi che hanno immagine in $M$. Questa, se ho capito bene, e' la classe fondamentale di $M$ in $H_m(N)$. Se $\omega \in H^k(N)$ e' la classe di una $k$-forma chiusa (con $m \leq k$) allora si definisce il cup product di $[M]$ e $\omega$ come la classe data dall'integrale di $\omega$ su $M$. E' cosi'? Come e' definita davvero questa cosa?
C'e' un modo, magari neanche troppo rigoroso, di capire il collegamento tra questo punto di vista e quello dell'omologia singolare?
Tuttavia, a quel che ho capito, questa operazione consiste essenzialmente nell'integrare una forma su una sottovarieta'. In particolare, se $N$ e' una varieta' di dimensione $n$ (compatta, orientabile e tutto quanto), una sua sottovarieta' $M$ di dimensione $m$ definisce una classe $[M]$ in omologia data dalla somma di tutti i simplessi che hanno immagine in $M$. Questa, se ho capito bene, e' la classe fondamentale di $M$ in $H_m(N)$. Se $\omega \in H^k(N)$ e' la classe di una $k$-forma chiusa (con $m \leq k$) allora si definisce il cup product di $[M]$ e $\omega$ come la classe data dall'integrale di $\omega$ su $M$. E' cosi'? Come e' definita davvero questa cosa?
C'e' un modo, magari neanche troppo rigoroso, di capire il collegamento tra questo punto di vista e quello dell'omologia singolare?
Risposte
Esiste un teorema di sbalorditiva semplicita' e profondita' che essenzialmente dice: tutte le teorie (co)omologiche (ossia tutti i funtori (controvarianti) da spazi a moduli su un anello fissato) i quali soddisfano certe ipotesi (il teorema di escissione, l'invarianza per omotopia, la presenza di una sequenza lunga indotta da ogni sequenza breve, e il valere la stessa cosa su \(\mathbb S^0\)) sono tra loro isomorfe grado per grado.
Questa e' la ragione per cui le varie omologie e coomologie (singolare, simpliciale, cellulare, de Rham,. ...) si "assomigliano tutte". Un eco lontana di questo si dovrebbe poter rileggere nel fatto che la coomologia dell'algebra di Lie di un gruppo di Lie e' isomorfa grado per grado alla coomologia di de Rham del gruppo guardato come manifold (credo che Borel e Cartan l'abbiano inventata per quello), nel senso che dovrebbe essere possibile dimostrarlo appellandosi a questo risultato di unicita'.
Allora pero' riesco a trasportare la struttura di anello che il gruppo graduato di coomologia eredita attraverso tutti questi isomorfismi, e per esempio il prodotto cup \([a]\smile \) che descrive il ciclo intersezione di a e b in una decomposizione simpliciale della varieta' dove vivono corrisponde all'integrazione di forme differenziali sui sottosimplessi guardati come domini supporto delle forme.
Riferimenti: l'articolo di Eilenberg e Steenrod che ha definito questi assiomi; il libro di J. Vick "Homology theories" dove questo risultato e' espresso e dimostrato con grande precisione; le prime pagine del libro 'From quantum cohomology to integrable systems", dove viene spiegato bene questo collegamento tra integrali e prodotto cup - intersezione di sottosimplessi.
Questa e' la ragione per cui le varie omologie e coomologie (singolare, simpliciale, cellulare, de Rham,. ...) si "assomigliano tutte". Un eco lontana di questo si dovrebbe poter rileggere nel fatto che la coomologia dell'algebra di Lie di un gruppo di Lie e' isomorfa grado per grado alla coomologia di de Rham del gruppo guardato come manifold (credo che Borel e Cartan l'abbiano inventata per quello), nel senso che dovrebbe essere possibile dimostrarlo appellandosi a questo risultato di unicita'.
Allora pero' riesco a trasportare la struttura di anello che il gruppo graduato di coomologia eredita attraverso tutti questi isomorfismi, e per esempio il prodotto cup \([a]\smile \) che descrive il ciclo intersezione di a e b in una decomposizione simpliciale della varieta' dove vivono corrisponde all'integrazione di forme differenziali sui sottosimplessi guardati come domini supporto delle forme.
Riferimenti: l'articolo di Eilenberg e Steenrod che ha definito questi assiomi; il libro di J. Vick "Homology theories" dove questo risultato e' espresso e dimostrato con grande precisione; le prime pagine del libro 'From quantum cohomology to integrable systems", dove viene spiegato bene questo collegamento tra integrali e prodotto cup - intersezione di sottosimplessi.
Conosco piu' o meno questo risultato di universalita' di omologia e coomologia. Praticamente se si possono definire due omologie da qualche parte, allora quelle due omologie sono di fatto la stessa.
Quello che mi chiedevo e' se c'e' un modo per vedere l'isomorfismo. Se la penso con catene e cocatene un po' riesco a vedere cosa succede (le forme chiuse si contraggono sulle facce dei simplessi che compaiono in $[M]$). Ma se la penso con gli integrali non capisco bene cosa succede: ad esempio, c'e' un modo per vedere che $m-k$ simplessi compaiono in \([M]\frown \omega = \int_M \omega\) o quali sono le sottovarieta' che compaiono come forme fondamentali in \([M]\frown \omega\)?
(nel primo post avevo scritto \(m\leq k\). Ovviamente e' alla rovescia, altrimenti la forma ha grado piu' alto della classe fondamentale)
Quello che mi chiedevo e' se c'e' un modo per vedere l'isomorfismo. Se la penso con catene e cocatene un po' riesco a vedere cosa succede (le forme chiuse si contraggono sulle facce dei simplessi che compaiono in $[M]$). Ma se la penso con gli integrali non capisco bene cosa succede: ad esempio, c'e' un modo per vedere che $m-k$ simplessi compaiono in \([M]\frown \omega = \int_M \omega\) o quali sono le sottovarieta' che compaiono come forme fondamentali in \([M]\frown \omega\)?
(nel primo post avevo scritto \(m\leq k\). Ovviamente e' alla rovescia, altrimenti la forma ha grado piu' alto della classe fondamentale)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo