Cancellazione di addendi nelle somme dirette
Ho uno spazio vettoriale $V$ e tre suoi sottospazi $A, B, C$. Risulta che $A o+ B= A o+ C$. Posso affermare che $B=C$? Istintivamente dico di sì ma adesso mi sta venendo qualche dubbio, mi dareste una mano? Grazie.
Risposte
NOOOOOOO! dissonance, mi cadi su queste cose?
prendi $V = RR^2$ e $A,B,C$ rette a due a due distinte...
prendi $V = RR^2$ e $A,B,C$ rette a due a due distinte...
Mi sa che per oggi è meglio staccare, sto letteralmente dando i numeri. Grazie NK!
P.S.: Ecco il risultato nel vero contesto in cui l'ho trovato: non avevo solo una somma diretta ma una somma diretta ortogonale -
[tex]A \boxplus B= A \boxplus C[/tex], nel senso che [tex]B, C[/tex] sono complementi ortogonali di [tex]A[/tex]. Ecco perché erano uguali...
Se metti qualche ipotesi in più dovrebbe funzionare...
Sia $V$ $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e $b: V times V rightarrow \mathbb{K}$ forma bilineare (anti)simmetrica.
Allora vale:
1) $V$ sia di dimensione finita e $b$ sia non degenere. Se $W,U \subseteq V$ sono sottospazi vettoriali tali che $V = W oplus U$ e $forall w in W, \forall u \in U, \ b(w,u)=0$, allora $U=W^{\perp} $ e $W=U^{\perp}$.
(Ma non è detto che fissato un sottospazio $W$ allora $V=W oplus W^perp$)
Quindi il tuo risultato vale nel caso $V$ sia di dimensione finita e $b$ non degenere.
Sia $V$ $\mathbb{K}$-spazio vettoriale e $b: V times V rightarrow \mathbb{K}$ forma bilineare (anti)simmetrica.
Allora vale:
1) $V$ sia di dimensione finita e $b$ sia non degenere. Se $W,U \subseteq V$ sono sottospazi vettoriali tali che $V = W oplus U$ e $forall w in W, \forall u \in U, \ b(w,u)=0$, allora $U=W^{\perp} $ e $W=U^{\perp}$.
(Ma non è detto che fissato un sottospazio $W$ allora $V=W oplus W^perp$)
Quindi il tuo risultato vale nel caso $V$ sia di dimensione finita e $b$ non degenere.
Quello che dici mi convince, ma a me serve qualcosa di leggermente diverso, a questo punto ti spiego per bene così evito di spararne di altre.
Nel seguito quando parlo di "successione di polinomi" intendo sempre che il pedice corrisponde al grado: ad esempio in $(P_0, P_1, ..., P_n, ...)$ il polinomio $P_k$ ha grado $k$. In particolare ogni successione di polinomi contiene esattamente un polinomio per ogni grado.
Su un libro di analisi numerica (di V. Comincioli) ho trovato scritto che, scelto un intervallo $[a, b]$ e un prodotto scalare $(*, *)$ sullo spazio dei polinomi reali definiti in $[a, b]$, esiste un'unica successione ortogonale di polinomi monici: $(phi_0, phi_1, ...)$. Ogni altra successione di polinomi ortogonali $(psi_0, psi_1, ...)$ è tale che $psi_k=lambda_k phi_k$ per opportuni scalari $lambda_k$ (i coefficienti direttori). Ecco, volevo dimostrare questa proposizione.
Nel seguito quando parlo di "successione di polinomi" intendo sempre che il pedice corrisponde al grado: ad esempio in $(P_0, P_1, ..., P_n, ...)$ il polinomio $P_k$ ha grado $k$. In particolare ogni successione di polinomi contiene esattamente un polinomio per ogni grado.
Su un libro di analisi numerica (di V. Comincioli) ho trovato scritto che, scelto un intervallo $[a, b]$ e un prodotto scalare $(*, *)$ sullo spazio dei polinomi reali definiti in $[a, b]$, esiste un'unica successione ortogonale di polinomi monici: $(phi_0, phi_1, ...)$. Ogni altra successione di polinomi ortogonali $(psi_0, psi_1, ...)$ è tale che $psi_k=lambda_k phi_k$ per opportuni scalari $lambda_k$ (i coefficienti direttori). Ecco, volevo dimostrare questa proposizione.
Con la mente fresca è tutto più semplice, o almeno sembra tutto più semplice!
Indico con [tex]\mathbb{P}[/tex] lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali reali definite nell'intervallo [tex][a, b][/tex]; nel seguito parlo semplicemente di "polinomi". Per ogni [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] indico con [tex]\mathbb{P}_n[/tex] il sottospazio dei polinomi di grado [tex]\le n[/tex]. Sia [tex](\cdot, \cdot)[/tex] un prodotto scalare definito positivo su [tex]\mathbb{P}[/tex] (esempio: [tex](f, g)=\int_a^bf(x)g(x)\,dx[/tex]). Affermo che esiste un'unica successione [size=75](*)[/size] di polinomi ortogonali monici e che ogni successione di polinomi ortogonali ha i termini ordinatamente proporzionali ai termini di quest'ultima.
1) Esistenza: Per mostrare l'esistenza è sufficiente applicare il procedimento di Gram-Schmidt alla successione di polinomi [tex](1, x, x^2, \ldots)[/tex], e dividere ogni termine ottenuto per il proprio coefficiente direttore. Chiamo [tex](\phi_0, \phi_1, \ldots)[/tex] la successione così ottenuta.
2) Unicità: Supponiamo che [tex](\psi_0, \psi_1, \ldots,\psi_n, \ldots)[/tex] sia una successione di polinomi ortogonali. Procediamo per induzione su [tex]n[/tex]. Evidentemente [tex]\psi_0[/tex] è proporzionale a [tex]\phi_0[/tex]. Supponiamo che la tesi sia verificata da [tex]\psi_0, \ldots, \psi_n[/tex], ovvero che [tex]\psi_j=\lambda_j\phi_j[/tex] per opportuni scalari [tex]\lambda_j[/tex]. In particolare [tex]\mathbb{P}_n=\text{span}(\phi_0, \ldots, \phi_n)=\text{span}(\psi_0, \ldots, \psi_n)[/tex]. Per ipotesi entrambe le successioni sono ortogonali, per cui
[tex]\mathbb{P}_{n+1}=\text{span}(\phi_0, \ldots, \phi_n)\boxplus\text{span}(\phi_{n+1}) =\text{span}(\psi_0, \ldots, \psi_n)\boxplus\text{span}(\psi_{n+1})[/tex].
Applicando il ragionamento del post precedente di NightKnight (di unicità del complemento ortogonale, ben posto perché [tex](\cdot, \cdot)[/tex] è definito positivo) possiamo concludere che [tex]\text{span}(\phi_{n+1})=\text{span}(\psi_{n+1})[/tex], ovvero che [tex]\phi_{n+1},\ \psi_{n+1}[/tex] sono proporzionali.
Questo prova che tutte le successioni di polinomi ortogonali si ottengono dalla [tex](\phi_0, \phi_1, \ldots, \phi_n, \ldots)[/tex] moltiplicando ogni termine per una costante. In particolare [tex](\phi_0 , \phi_1, \ldots)[/tex] è l'unica successione di polinomi ortogonali monici. /////
Mi pare che adesso vada bene!
___________________
(*) "Successione di polinomi" da intendersi nel senso del mio post precedente.
Indico con [tex]\mathbb{P}[/tex] lo spazio vettoriale delle funzioni polinomiali reali definite nell'intervallo [tex][a, b][/tex]; nel seguito parlo semplicemente di "polinomi". Per ogni [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] indico con [tex]\mathbb{P}_n[/tex] il sottospazio dei polinomi di grado [tex]\le n[/tex]. Sia [tex](\cdot, \cdot)[/tex] un prodotto scalare definito positivo su [tex]\mathbb{P}[/tex] (esempio: [tex](f, g)=\int_a^bf(x)g(x)\,dx[/tex]). Affermo che esiste un'unica successione [size=75](*)[/size] di polinomi ortogonali monici e che ogni successione di polinomi ortogonali ha i termini ordinatamente proporzionali ai termini di quest'ultima.
1) Esistenza: Per mostrare l'esistenza è sufficiente applicare il procedimento di Gram-Schmidt alla successione di polinomi [tex](1, x, x^2, \ldots)[/tex], e dividere ogni termine ottenuto per il proprio coefficiente direttore. Chiamo [tex](\phi_0, \phi_1, \ldots)[/tex] la successione così ottenuta.
2) Unicità: Supponiamo che [tex](\psi_0, \psi_1, \ldots,\psi_n, \ldots)[/tex] sia una successione di polinomi ortogonali. Procediamo per induzione su [tex]n[/tex]. Evidentemente [tex]\psi_0[/tex] è proporzionale a [tex]\phi_0[/tex]. Supponiamo che la tesi sia verificata da [tex]\psi_0, \ldots, \psi_n[/tex], ovvero che [tex]\psi_j=\lambda_j\phi_j[/tex] per opportuni scalari [tex]\lambda_j[/tex]. In particolare [tex]\mathbb{P}_n=\text{span}(\phi_0, \ldots, \phi_n)=\text{span}(\psi_0, \ldots, \psi_n)[/tex]. Per ipotesi entrambe le successioni sono ortogonali, per cui
[tex]\mathbb{P}_{n+1}=\text{span}(\phi_0, \ldots, \phi_n)\boxplus\text{span}(\phi_{n+1}) =\text{span}(\psi_0, \ldots, \psi_n)\boxplus\text{span}(\psi_{n+1})[/tex].
Applicando il ragionamento del post precedente di NightKnight (di unicità del complemento ortogonale, ben posto perché [tex](\cdot, \cdot)[/tex] è definito positivo) possiamo concludere che [tex]\text{span}(\phi_{n+1})=\text{span}(\psi_{n+1})[/tex], ovvero che [tex]\phi_{n+1},\ \psi_{n+1}[/tex] sono proporzionali.
Questo prova che tutte le successioni di polinomi ortogonali si ottengono dalla [tex](\phi_0, \phi_1, \ldots, \phi_n, \ldots)[/tex] moltiplicando ogni termine per una costante. In particolare [tex](\phi_0 , \phi_1, \ldots)[/tex] è l'unica successione di polinomi ortogonali monici. /////
Mi pare che adesso vada bene!
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(*) "Successione di polinomi" da intendersi nel senso del mio post precedente.
Ho letto solo la prima domanda, e così rispondo, poi mi leggo il tutto:
Si ha che $(Ao+B)/A = B$ (ove $=$ sta per "è isomorfo").
Quindi così, in generale puoi dire che $Ao+B=Ao+C$ implica che $B$ è isomorfo a $C$.
Come puoi vedere ad esempio con le rette di NK..
Si ha che $(Ao+B)/A = B$ (ove $=$ sta per "è isomorfo").
Quindi così, in generale puoi dire che $Ao+B=Ao+C$ implica che $B$ è isomorfo a $C$.
Come puoi vedere ad esempio con le rette di NK..
@ Gaal:
Ma $Ao+B - A$ non ha lo zero, quindi non è un sottospazio vettoriale, giusto?
Volevo sapere come si definisce la differenza tra sottospazi vettoriali.
Ma $Ao+B - A$ non ha lo zero, quindi non è un sottospazio vettoriale, giusto?
Volevo sapere come si definisce la differenza tra sottospazi vettoriali.
Differenza?
Forse divisione: no, è una notazione scorretta, intendo dire "quoziente", ma non mi andava di andare a vedere il simbolo corretto..e pensavo che si capisse lo stesso.
Inoltre la cosa che ho scritto è valida anche su moduli su anelli (PID), anche se immagino valga più in generale, ma non conosco molto di teoria delle categorie..
Forse divisione: no, è una notazione scorretta, intendo dire "quoziente", ma non mi andava di andare a vedere il simbolo corretto..e pensavo che si capisse lo stesso.
Inoltre la cosa che ho scritto è valida anche su moduli su anelli (PID), anche se immagino valga più in generale, ma non conosco molto di teoria delle categorie..
@Gaal: Dal primo post all'ultimo è cambiato tutto. Certo, si può dire che $B, C$ sono isomorfi, come noti tu; ma la questione originale voleva proprio l'uguaglianza, che si può ottenere con qualche ipotesi in più.
@Zkeggia: Ma chi ha parlato di "differenza" di sottospazi vettoriali? Vediamo che ne pensa Gaal, ma io credo sia una cosa tutto sommato senza senso: $A-B=A+B$ se $A, B$ sono sottospazi vettoriali.
[EDIT]Scrivevo contemporaneamente a Gaal.
@Zkeggia: Ma chi ha parlato di "differenza" di sottospazi vettoriali? Vediamo che ne pensa Gaal, ma io credo sia una cosa tutto sommato senza senso: $A-B=A+B$ se $A, B$ sono sottospazi vettoriali.
[EDIT]Scrivevo contemporaneamente a Gaal.
aaaah ok, avevo interpretato male, scusate
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