Campo vettoriale ristretto a varietà

[Peano1]

Salve ho il seguente campo vettoriale

$ X=y^3(partial)/(partial x)- x^3(partial)/(partial y) $ e la varietà
$ M={(x,y)|x^4+y^4=1} $

l'esercizio chiede di dimostrare che $ AA p in M , X_p in T_pM $

... le cose che mi vengono in mente sono
1- $ (partialx)/(partial y) =-y^3/x^3 ; (partialy)/(partial x) =-x^3/y^3 $
2- $ d(x^4+y^4-1)=4x^3dx+4y^3dy $

non saprei come metterle insieme però

[j18eos]

Io inizierei col calcolare il generico spazio vettoriale \(\displaystyle T_pM\)!

[Peano1]

il punto è che credo di conoscere la soluzione ma non fino in fondo, nel senso che secondo me basta far vedere che (prendo la prima uguaglianza dal libro di Tu), chiamando f la funzione che definisce implicitamente la varietà

$ df_p(X_p)=X_pf=y^3(partial f)/(partial x)-x^3(partial f)/(partial y)=y^3 4x^3-x^3 4y^3=0 $

ma non capisco bene a fondo il perchè? so che il differenziale calcolato in p va dallo spazio tangente in R, quindi l'espressione ha senso...

in effetti il generico $ T_pM $ è questo?

[j18eos]

Andiamo per ordine; sia:
\[
f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\to x^4+y^4-1\in\mathbb{R}
\]
e si è posto:
\[
M=f^{-1}(0).
\]
La matrice jacobiana di \(\displaystyle f\) non è altri che il gradiente \(\displaystyle\nabla f\); poiché:
\[
\nabla f=\underline0\iff(x,y)=\underline0
\]
e
\[
\underline0\notin M
\]
allora per il teorema della mappa inversa, \(\displaystyle M\) è una varietà differenziabile di dimensione \(\displaystyle 1\), ovvero è una curva differenziabile.

Da tutto ciò:
\[
\forall P\in M,\,T_PM=\{(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2\mid(\nabla f)(x_0,y_0)\cdot(x_P,y_P)=0\}
\]
ove \(\displaystyle(x_P,y_P)\) sono le coordinate locali di \(\displaystyle P\) in \(\displaystyle M\).

Quindi chi è il generico spazio tangente ad \(\displaystyle M\)? Cosa c'è che non va nel tuo "differenziale"?