Campo vettoriale conservativo
Salve,
ho un dubbio su campi vettoriali conservativi ed in particolare su come determinare se un campo è conservativo.
So che, dato un campo vettoriale $ F $, se ho il rotore di questo campo nullo (ovvero se $ nabla xx F =0 $ ) allora il campo è conservativo (tenendo conto del Lemma di Poincaré).
Cioè dovrei trovare una funzione (che sarebbe il potenziale) alla quale, se applico l'operatore gradiente, da come risultato il campo stesso. E fino a qua spero di esserci.
Però c'è un metodo per verificare se un campo è conservativo che non mi è chiaro del tutto, cioè valutare le derivate "incrociate" (spero sia corretto dire così) delle componenti del campo.
Esempio che vale a chiarire la situazione (per me
):
Dato il campo $ F=(-y,x) $ voglio verificare se esso è conservativo.
Allora questo metodo affermerebbe che se $ (partial )/(partial y) (-y) $ $ = $ $ (partial )/(partial x) (x) $ allora il campo è conservativo. Nel caso in questione le derivate parziali sono diverse e se ne conclude che il campo non è conservativo.
Avrei un paio di domande su questo:
Le derivate devono essere sempre svolte con questo ordine? Nel senso che se ho $ F=(A,B) $ allora le derivate saranno sempre $ (partial )/(partialy) (A) $ e $ (partial )/(partialx) (B) $ , quindi la derivata del primo componente sempre rispetto ad y e la derivata del secondo componente sempre rispetto ad x ?
Non ho capito da dove si ricava questa regola...
Grazie in anticipo!!
ho un dubbio su campi vettoriali conservativi ed in particolare su come determinare se un campo è conservativo.
So che, dato un campo vettoriale $ F $, se ho il rotore di questo campo nullo (ovvero se $ nabla xx F =0 $ ) allora il campo è conservativo (tenendo conto del Lemma di Poincaré).
Cioè dovrei trovare una funzione (che sarebbe il potenziale) alla quale, se applico l'operatore gradiente, da come risultato il campo stesso. E fino a qua spero di esserci.
Però c'è un metodo per verificare se un campo è conservativo che non mi è chiaro del tutto, cioè valutare le derivate "incrociate" (spero sia corretto dire così) delle componenti del campo.
Esempio che vale a chiarire la situazione (per me
):Dato il campo $ F=(-y,x) $ voglio verificare se esso è conservativo.
Allora questo metodo affermerebbe che se $ (partial )/(partial y) (-y) $ $ = $ $ (partial )/(partial x) (x) $ allora il campo è conservativo. Nel caso in questione le derivate parziali sono diverse e se ne conclude che il campo non è conservativo.
Avrei un paio di domande su questo:
Le derivate devono essere sempre svolte con questo ordine? Nel senso che se ho $ F=(A,B) $ allora le derivate saranno sempre $ (partial )/(partialy) (A) $ e $ (partial )/(partialx) (B) $ , quindi la derivata del primo componente sempre rispetto ad y e la derivata del secondo componente sempre rispetto ad x ?
Non ho capito da dove si ricava questa regola...
Grazie in anticipo!!
Risposte
Ciao.
La regola a cui ti riferisci deriva dalle componenti del rotore di un campo vettoriale.
Sia $vecF (x,y,x)=(F_1 (x,y,z),F_2 (x,y,z),F_3 (x,y,z))$
Siccome vale:
$vecnabla xx vecF=((delF_3)/(dely)-(delF_2)/(delz),(delF_1)/(delz)-(delF_3)/(delx),(delF_2)/(delx)-(delF_1)/(dely))$
per avere il rotore del campo vettoriale coincidente con il vettore nullo, basta verificare che le componenti del campo stesso soddisfino queste condizioni:
${((delF_3)/(dely)=(delF_2)/(delz)),((delF_1)/(delz)=(delF_3)/(delx)),((delF_2)/(delx)=(delF_1)/(dely)):}$
Spero di aver risposto alla tua domanda.
Saluti.
La regola a cui ti riferisci deriva dalle componenti del rotore di un campo vettoriale.
Sia $vecF (x,y,x)=(F_1 (x,y,z),F_2 (x,y,z),F_3 (x,y,z))$
Siccome vale:
$vecnabla xx vecF=((delF_3)/(dely)-(delF_2)/(delz),(delF_1)/(delz)-(delF_3)/(delx),(delF_2)/(delx)-(delF_1)/(dely))$
per avere il rotore del campo vettoriale coincidente con il vettore nullo, basta verificare che le componenti del campo stesso soddisfino queste condizioni:
${((delF_3)/(dely)=(delF_2)/(delz)),((delF_1)/(delz)=(delF_3)/(delx)),((delF_2)/(delx)=(delF_1)/(dely)):}$
Spero di aver risposto alla tua domanda.
Saluti.
Si direi di si, ti ringrazio!!
Nell'ultima relazione che hai messo a sistema si nota che deve essere valutata sempre con un ordine definito, quindi nell'esempio che ho fatto io non vale fare $ (partial)/(partial y) (x) $ e $ (partial)/(partial x) (-y) $ perchè non soddisfa le condizioni richieste dal rotore, giusto?
Nell'ultima relazione che hai messo a sistema si nota che deve essere valutata sempre con un ordine definito, quindi nell'esempio che ho fatto io non vale fare $ (partial)/(partial y) (x) $ e $ (partial)/(partial x) (-y) $ perchè non soddisfa le condizioni richieste dal rotore, giusto?
"severity":
Nell'ultima relazione che hai messo a sistema si nota che deve essere valutata sempre con un ordine definito, ...
Cosa intenderesti, esattamente, per "ordine definito"?
Saluti.
Nel senso che se ad esempio ho un campo $ F=(A,B) $ allora, per le condizioni che mi vengono imposte dalle condizioni del rotore (che deve essere nullo), vale $ (partial)/(partial y) (A) = (partial)/(partial x)(B) $ mentre invece non vale mai $ (partial)/(partial x) (A) = (partial)/(partial y)(B) $ perchè non è una condizione richiesta dal rotore per essere nullo. Spero di essermi spiegato meglio di prima (il mio problema sorgeva proprio nel chiedermi se valevano entrambe le scritture in modo indistinto).
Già, ora è più chiaro.
Si, vale quello che hai affermato, però tieni conto che il rotore è un operatore tridimensionale.
Saluti.
Si, vale quello che hai affermato, però tieni conto che il rotore è un operatore tridimensionale.
Saluti.
Ok perfetto, grazie della disponibilità!
Di nulla.
Ho sempre piacere, quando posso rendermi utile.
Saluti.
Ho sempre piacere, quando posso rendermi utile.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo