Campo Vettoriale

[mashiro1]

ancora una volta, determinrare se questo campo e' conservativo

$F(x,y):=(-2(y+1)x^-3, x^-2)$

se e' conservativo trovare un potenziale.

allora, F soddisfa il rotore nullo, pero' ho dei dubbi sul fatto che sia conservativo, perche' se non sbaglio F e' definito su $R^2 $escluso $(0,y)$.
per essere conservativo il campo deve essere definito su uno stellato se non sbaglio, e qui non mi pare lo sia..
che dite?

[miuemia]

scusa ma se non sbaglio è definito su tutto $RR^2$ tolto l'origine... mi pare

[mashiro1]

ma sei sicuro? non e' tutto l'asse Y ad essere escluso?? se x=0 F non e' definito..

[alle.fabbri]

esatto. Il dominio per così dire "naturale" di F sarebbe $RR^2 "/" {(0,y) , y in RR}$. Ciò non toglie che se tu prendi un insieme stellato A, interamente contenuto nel semipiano positivo (o in quello negativo) delle x, in A il campo F sia conservativo. Quindi se prendi due punti dalla stessa parte e una curva che li congiunge (tutta contenuta nella stessa porzione di piano) l'integrale di linea è indipendente dalla curva....purchè la curva stia tutta dalla stessa parte.... Sotto queste condizioni, puoi calcolare il potenziale. Quindi, per esempio, puoi prendere le spezzate (1,0)->(x,0)->(x,y) per x>0 e (-1,0)->(x,0)->(x,y) per x<0, e integrare su quelle.

[miuemia]

si avete ragione giusto giusto è definito fuori dall'asse y

[mashiro1]

"alle.fabbri":esatto. Il dominio per così dire "naturale" di F sarebbe $RR^2 "/" {(0,y) , y in RR}$. Ciò non toglie che se tu prendi un insieme stellato A, interamente contenuto nel semipiano positivo (o in quello negativo) delle x, in A il campo F sia conservativo. Quindi se prendi due punti dalla stessa parte e una curva che li congiunge (tutta contenuta nella stessa porzione di piano) l'integrale di linea è indipendente dalla curva....purchè la curva stia tutta dalla stessa parte.... Sotto queste condizioni, puoi calcolare il potenziale. Quindi, per esempio, puoi prendere le spezzate (1,0)->(x,0)->(x,y) per x>0 e (-1,0)->(x,0)->(x,y) per x<0, e integrare su quelle.

era proprio quello che volevo sentirmi dire!!!!!!!!!!
grazie mille..