Campo vettoriale
Salve a tutti!! ho dei dubbi su questo esercizio svolto in aula dal prof.
$v(x,y)=-[(y)/(x^2+y^2)]*i+[(x)/(x^2+y^2)]*j$
$(x,y) in A=R^2-{(0,0)}$ che è un aperto non semplicemente connesso.
$Xy=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$
$Yx=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$
dunque $Xy=Yx$.
ora si vuole provare che $v(x,y)$ non è un campo vettoriale gradiente.Quindi si considera una curva chiusa regolare
$phi(t)=(cost,sent)$ $t in [0,2pi]$ supponendo che $gamma=[phi]$ sia orientata nel verso indatto da $phi(t)$:
$int_gamma (v(P),T(P))ds=int_0^(2pi) [(-sent)*(-sent)+cost*cost]dt=int_0^(2pi) (sen^2t+cos^2t)dt=2pi$
Allora si conclude che non è un campo vettoriale gradiente su tutto A.
Ora io mi chiedo ma non è un campo vettoriale gradiente su tutto A perchè il campo vettoriale non è irrotazionale cioè:
$rot v=0$??nel senso che anche se $Xy=Yx$ poichè $rot v=2pi$ allora non è è un campo vettoriale gradiente su tutto A....
Potete darmi una spiegazione chiara su questo mio dubbio??
Grazie!
$v(x,y)=-[(y)/(x^2+y^2)]*i+[(x)/(x^2+y^2)]*j$
$(x,y) in A=R^2-{(0,0)}$ che è un aperto non semplicemente connesso.
$Xy=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$
$Yx=(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2$
dunque $Xy=Yx$.
ora si vuole provare che $v(x,y)$ non è un campo vettoriale gradiente.Quindi si considera una curva chiusa regolare
$phi(t)=(cost,sent)$ $t in [0,2pi]$ supponendo che $gamma=[phi]$ sia orientata nel verso indatto da $phi(t)$:
$int_gamma (v(P),T(P))ds=int_0^(2pi) [(-sent)*(-sent)+cost*cost]dt=int_0^(2pi) (sen^2t+cos^2t)dt=2pi$
Allora si conclude che non è un campo vettoriale gradiente su tutto A.
Ora io mi chiedo ma non è un campo vettoriale gradiente su tutto A perchè il campo vettoriale non è irrotazionale cioè:
$rot v=0$??nel senso che anche se $Xy=Yx$ poichè $rot v=2pi$ allora non è è un campo vettoriale gradiente su tutto A....
Potete darmi una spiegazione chiara su questo mio dubbio??
Grazie!
Risposte
Sì, dato che non c'è la connessione semplice, v non può essere un campo irrotazionale, la riprova è quell'integrale
"luca.barletta":
Sì, dato che non c'è la connessione semplice, v non può essere un campo irrotazionale, la riprova è quell'integrale
$int_gamma (v(P),T(P))ds=int_0^(2pi) [(-sent)*(-sent)+cost*cost]dt=int_0^(2pi) (sen^2t+cos^2t)dt=2pi$
Ah ho capito infatti dovrebbe venire $0$ non $2pi$ per essere un campo vettoriale gradiente...
"Aristotele":
Ora io mi chiedo ma non è un campo vettoriale gradiente su tutto A perchè il campo vettoriale non è irrotazionale cioè:
$rot v=0$??nel senso che anche se $Xy=Yx$ poichè $rot v=2pi$ allora non è è un campo vettoriale gradiente su tutto A....
quello che hai calcolato non è il rotore del campo vettoriale... hai calcolato un integrale di linea su un percorso chiuso... si verifica che se il campo può essere scritto come gradiente di un potenziale, l'integrale su un qualsiasi percorso chiuso è nullo... infatti
$int_gamma (v(P),T(P))ds=int_0^(2pi)<\Delta f(\phi(t)),\phi'(t)> dt =int_0^(2pi) d_t(f ° \phi)(t)dt=f ° \phi(2\pi)-f ° \phi(0)=0$
dove spero la notazione sia chiara... La Delta stà per il gradiente della f, il simbolo <> indica il prodotto scalare e si applicato tra il secondo ed il terzo passaggio la regola di derivazione della funzione composta...
visto che tu hai trovato un percorso chiuso dove l'intagrale non è nullo, la forma non è esatta...
"Thomas":
quello che hai calcolato non è il rotore del campo vettoriale (che è in realtà un altro campo vettoriale)
Si infatti il rotore ha tre componenti io invece sto in $R^2$...il fatto è che il prof nella teoria ha considerato $R^3$...
lascia perdere... su cosa sia un rotore non mi pronuncio, visto che credo le cose siano alquanto complicate (credo cmq che sia un tensore anti-simmetrico ma lasciamo perdere)... di sicuro in $R^3$ ha 3 componenti...
cmq il punto è che lì non hai calcolato un rotore, ma un semplice integrale di linea... tutto qui...
cmq il punto è che lì non hai calcolato un rotore, ma un semplice integrale di linea... tutto qui...
"Thomas":
lascia perdere... su cosa sia un rotore non mi pronuncio, visto che credo le cose siano alquanto complicate (credo cmq che sia un tensore anti-simmetrico ma lasciamo perdere)... di sicuro in $R^3$ ha 3 componenti...
cmq il punto è che lì non hai calcolato un rotore, ma un semplice integrale di linea... tutto qui...
capito grazie!!
Avrei ancora un altro dubbio su questo esercizio:
$v(x ,y)=y*((log*y/x)-1)*i+x((log*y/x)+1)*j$
Ora nel passaggio seguente il prof. analizza il dominio $A$ scrivendo:
$A={(x,y)in R^2:y/x>0}=]0,+oo[^2 U ]-oo,0[^2$
Quindi:
$A_1=]0,+oo[^2$ aperto semplicemente connesso.
$A_2=]-oo,0[^2$ aperto semplicemente connesso.
$Xy=log*y/x$
$Yx=log*y/x$
$Xy=Yx$
Allora $v(x,y)$ è un campo vettoriale gradiente sia su $A_1$ che su $A_2$.
I miei dubbi sono:
1)come ha fatto a definire in questo modo questi due intervalli?
Forse perché essendo sempre positivo l’argomento del logaritmo allora ha considerato sia i valori positivi sia i valori negativi…??
2)perché c’è un quadrato sull’intervallo?
Forse perchè siamo in $R^2$??
Potete aiutarmi?
Grazie!
$v(x ,y)=y*((log*y/x)-1)*i+x((log*y/x)+1)*j$
Ora nel passaggio seguente il prof. analizza il dominio $A$ scrivendo:
$A={(x,y)in R^2:y/x>0}=]0,+oo[^2 U ]-oo,0[^2$
Quindi:
$A_1=]0,+oo[^2$ aperto semplicemente connesso.
$A_2=]-oo,0[^2$ aperto semplicemente connesso.
$Xy=log*y/x$
$Yx=log*y/x$
$Xy=Yx$
Allora $v(x,y)$ è un campo vettoriale gradiente sia su $A_1$ che su $A_2$.
I miei dubbi sono:
1)come ha fatto a definire in questo modo questi due intervalli?
Forse perché essendo sempre positivo l’argomento del logaritmo allora ha considerato sia i valori positivi sia i valori negativi…??
2)perché c’è un quadrato sull’intervallo?
Forse perchè siamo in $R^2$??
Potete aiutarmi?
Grazie!
sono giuste le mie ipotesi relative alle mie domande?
Sì sono giuste 
Il quadrato indica semplicemente il prodotto cartesiano; appunto primo e terzo quadrante
Il quadrato indica semplicemente il prodotto cartesiano; appunto primo e terzo quadrante
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