Campo vettoriale
Ho un altro esercizio di cui non ho la soluzione per cui mi farebbe comodo un aiuto... Il testo è il seguente:
Si consideri il campo vettoriale:
$bbF=(2xye^(x^2y),x^2e^(x^2y))$
e la forma differenziale ad esso associata:
$bbPhi(x,y)=2xye^(x^2y)dx + x^2e^(x^2y)dy$
1) Stabilire se $bbF$ è conservativo
2) Sia S il segmento che congiunge i punti $P_0:(0,0)$ e $P_1:(1,1)$ orientato nella direzione da $P_0$ a $P_1$. Calcolare:
$int_S2xye^(x^2y)dx+x^2e^(x^2y)dy$
Ho provato a svolgerlo ma ho dei dubbi...
1) Il campo è conservativo in quanto le derivate in croce sono uguali tra loro:
$(deltabbF_1)/(deltay)=(deltabbF_2)/(deltax)=2xe^(x^2y)+2x^3ye^(x^2y)$
2) Pongo $S=gamma1+gamma2$ dove $gamma1$ è posto lungo x da 0 a 1 e $gamma2$ è posto lungo y da 0 a 1:
L'integrale di linea dovrebbe diventare quindi:
$int_0^1 2xye^(x^2y)dx+int_0^1x^2e^(x^2y)dy$
Risolvo l'integrale e dovrei trovare la lunghezza del segmento: io come risultato ottengo: $e^y+e^(x^2) -2e^0$
E' giusto?
Ciao e grazie
Si consideri il campo vettoriale:
$bbF=(2xye^(x^2y),x^2e^(x^2y))$
e la forma differenziale ad esso associata:
$bbPhi(x,y)=2xye^(x^2y)dx + x^2e^(x^2y)dy$
1) Stabilire se $bbF$ è conservativo
2) Sia S il segmento che congiunge i punti $P_0:(0,0)$ e $P_1:(1,1)$ orientato nella direzione da $P_0$ a $P_1$. Calcolare:
$int_S2xye^(x^2y)dx+x^2e^(x^2y)dy$
Ho provato a svolgerlo ma ho dei dubbi...
1) Il campo è conservativo in quanto le derivate in croce sono uguali tra loro:
$(deltabbF_1)/(deltay)=(deltabbF_2)/(deltax)=2xe^(x^2y)+2x^3ye^(x^2y)$
2) Pongo $S=gamma1+gamma2$ dove $gamma1$ è posto lungo x da 0 a 1 e $gamma2$ è posto lungo y da 0 a 1:
L'integrale di linea dovrebbe diventare quindi:
$int_0^1 2xye^(x^2y)dx+int_0^1x^2e^(x^2y)dy$
Risolvo l'integrale e dovrei trovare la lunghezza del segmento: io come risultato ottengo: $e^y+e^(x^2) -2e^0$
E' giusto?
Ciao e grazie
Risposte
giusto
Ci sarebbe un terzo punto di questo problema, da cui non riesco a uscirne fuori:
3) Sia ora T la curva di equazioni parametriche:
$x=t+sin(pit)$
$y=-t^2cos(pit)$
con $0<=t<=1$
Calcolare l'integrale:
$int_T2xye^(x^2y)dx+x^2e^(x^2y)dy$
Ho calcolato $r'(t)=(1+picos(pit),-2tcos(pit)+pit^2sen(pit))
Però $|r'(t)|$ mi viene una roba lunghissima sotto radice, che non riesco a semplificare!
$|r'(t)|=sqrt(1+2picos(pit)+pi^2cos^2(pit)+pi^2t^4sen^2(pit)-4pit^3sen(pit)cos(pit)+4t^2cos^2(pit)$
Voi cosa ottenete come risultato di $|r'(t)|$ ?
3) Sia ora T la curva di equazioni parametriche:
$x=t+sin(pit)$
$y=-t^2cos(pit)$
con $0<=t<=1$
Calcolare l'integrale:
$int_T2xye^(x^2y)dx+x^2e^(x^2y)dy$
Ho calcolato $r'(t)=(1+picos(pit),-2tcos(pit)+pit^2sen(pit))
Però $|r'(t)|$ mi viene una roba lunghissima sotto radice, che non riesco a semplificare!
$|r'(t)|=sqrt(1+2picos(pit)+pi^2cos^2(pit)+pi^2t^4sen^2(pit)-4pit^3sen(pit)cos(pit)+4t^2cos^2(pit)$
Voi cosa ottenete come risultato di $|r'(t)|$ ?
nessuno mi da una mano? 
"alexroma":
Risolvo l'integrale e dovrei trovare la lunghezza del segmento: io come risultato ottengo: $e^y+e^(x^2) -2e^0$
i conti non li ho controllati
Ma non capisco perché dici che dovrebbe venirti la lunghezza del segmento. Immagino sia un lapsus: l'integrale di un campo vettoriale su una curva mica ti dà la lunghezza della curva.
Il risultato dipende anche da che campo vettoriale stai integrando
si ho avuto un lapsus
il testo dell'esercizio infatti mi chiedeva di calcolare il valore dell'integrale e non la lunghezza della linea!
il passaggio del punto (3) è giusto?
il testo dell'esercizio infatti mi chiedeva di calcolare il valore dell'integrale e non la lunghezza della linea!
il passaggio del punto (3) è giusto?
Il calcolo nel punto 2 e' errato.
Il segmento (0,0)-(1,1) non puo' essere spezzato come hai fatto tu ma
da (0,0) a (1,0) per $gamma_1$ e da (1,0 ) a (1,1) per $gamma_2$
Conseguentemente risulta:
su $gamma_1$ :$0<=x<=1,y=0$ e l'integrale corrispondente vale 0
su $gamma_2$ :$x=1,0<=y<=1$ e l'integrale corrispondente vale $e-1$
e questo e' anche l'integrale richiesto.
Per il terzo punto l'integrale e' sempre $e-1$ come nel punto 2.
E cio' perche' i punto terminali di T sono sempre $(0,0), (1,1)$
e la forma differenziale e' conservativa.Come e' noto in tali casi
il cammino d'integrazione non influisce ma contano solo i punti terminali.
Nessun calcolo strano,quindi!!
karl
Il segmento (0,0)-(1,1) non puo' essere spezzato come hai fatto tu ma
da (0,0) a (1,0) per $gamma_1$ e da (1,0 ) a (1,1) per $gamma_2$
Conseguentemente risulta:
su $gamma_1$ :$0<=x<=1,y=0$ e l'integrale corrispondente vale 0
su $gamma_2$ :$x=1,0<=y<=1$ e l'integrale corrispondente vale $e-1$
e questo e' anche l'integrale richiesto.
Per il terzo punto l'integrale e' sempre $e-1$ come nel punto 2.
E cio' perche' i punto terminali di T sono sempre $(0,0), (1,1)$
e la forma differenziale e' conservativa.Come e' noto in tali casi
il cammino d'integrazione non influisce ma contano solo i punti terminali.
Nessun calcolo strano,quindi!!
karl
Grazie per la risposta
Non capisco però perchè dici che i limiti entro cui ho integrato sono sballati... alla fine quando integro in funzione di x, la x varia da 0 a 1, e quando integro in funzione di y la y varia fra 0 e 1...
Poi, lo so anch'io che il risultato del punto (3) deve venire fuori uguale al risultato del punto (2) in quanto il campo è conservativo, ma siccome il testo dell'esame richiedeva specificamente di calcolare nuovamente l'integrale, volevo avere una mano per i conti...
Non capisco però perchè dici che i limiti entro cui ho integrato sono sballati... alla fine quando integro in funzione di x, la x varia da 0 a 1, e quando integro in funzione di y la y varia fra 0 e 1...
Poi, lo so anch'io che il risultato del punto (3) deve venire fuori uguale al risultato del punto (2) in quanto il campo è conservativo, ma siccome il testo dell'esame richiedeva specificamente di calcolare nuovamente l'integrale, volevo avere una mano per i conti...
l'integrale sarebbe
$int_0^1 F_x(x,0)dx+int_0^1 F_y(1,y)dy$
$int_0^1 F_x(x,0)dx+int_0^1 F_y(1,y)dy$
Ho capito... avevo considerato solo gli intervalli di integrazione...
Per il punto (3) invece il procedimento è giusto?
Per il punto (3) invece il procedimento è giusto?
Per il punto (3) si tratta di calcolare un integrale curvilineo e non
vedo cosa c'entri $|r'(t)|$ :forse stai facendo un po' di confusione
con la lunghezza di un arco di curva .
Caso mai si deve calcolare il prodotto scalare tra il vettore $(F_x,F_y)$ ed il vettore
$vec(r'(t))=(x'(t),y'(t))$ e poi integrare sull'intervallo $(0,1)$.
In effetti devi calcolare il seguente integrale:
$int_0^1 [F_x(x(t),y(t))*x'(t)+F_y(x(t),y(t))*y'(t)]dt $
dove x(t) e y(t) sono date dall'equazione di T.
Il calcolo e' lungo e sinceramente non l'ho portato avanti
perche' non ne vedo l'utilita'.E' probabile invece che
si chiedesse proprio di applicare la conservativita'.
karl
vedo cosa c'entri $|r'(t)|$ :forse stai facendo un po' di confusione
con la lunghezza di un arco di curva .
Caso mai si deve calcolare il prodotto scalare tra il vettore $(F_x,F_y)$ ed il vettore
$vec(r'(t))=(x'(t),y'(t))$ e poi integrare sull'intervallo $(0,1)$.
In effetti devi calcolare il seguente integrale:
$int_0^1 [F_x(x(t),y(t))*x'(t)+F_y(x(t),y(t))*y'(t)]dt $
dove x(t) e y(t) sono date dall'equazione di T.
Il calcolo e' lungo e sinceramente non l'ho portato avanti
perche' non ne vedo l'utilita'.E' probabile invece che
si chiedesse proprio di applicare la conservativita'.
karl
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo