Campi vettoriali e derivate di campi vettoriali
Buongiorno, sono al secondo anno di matematica e alle prese con l'esame di Geometria II (Topologia e Geometria Differenziale). Sto studiando circa l'applicazione di Gauss(ed il suo differenziale) e non riesco a capire per bene cosa sia un campo vettoriale, in particolare mi risultata completamente "astrusa" l'idea di derivare e moltiplicare campi vettoriali fra loro.
Dalla definizione su Wikipedia è semplicemente:
Dato un insieme aperto e connesso $X$ contenuto in $RR^n$, un campo vettoriale è una funzione:
$F: X$ -> $RR^n$
alla quale si richiede generalmente di essere continua o differenziabile per un certo numero di volte.
Sul libro Geometria II del Sernesi invece diventa una cosa del tipo:
Sia $X$ una varietà differenziabile e $S$ un sottoinsieme di $X$. Un Campo vettoriale (definito) su $S$ è il dato $V$ di un vettore tangente $V(x)$ appartenente allo spazio tangente per ogni $x \in S$
Cosa sia "il dato V" non lo riesco a capire.
Come mi devo immaginare i campi vettoriali? Sono la "generalizzazione" di qualcosa? Potete farmi degli esemi immediati per avere un'idea di cosa voglia dire "derivare lungo un vettore v" un campo vettoriale?
Grazie
Fabio
Dalla definizione su Wikipedia è semplicemente:
Dato un insieme aperto e connesso $X$ contenuto in $RR^n$, un campo vettoriale è una funzione:
$F: X$ -> $RR^n$
alla quale si richiede generalmente di essere continua o differenziabile per un certo numero di volte.
Sul libro Geometria II del Sernesi invece diventa una cosa del tipo:
Sia $X$ una varietà differenziabile e $S$ un sottoinsieme di $X$. Un Campo vettoriale (definito) su $S$ è il dato $V$ di un vettore tangente $V(x)$ appartenente allo spazio tangente per ogni $x \in S$
Cosa sia "il dato V" non lo riesco a capire.
Come mi devo immaginare i campi vettoriali? Sono la "generalizzazione" di qualcosa? Potete farmi degli esemi immediati per avere un'idea di cosa voglia dire "derivare lungo un vettore v" un campo vettoriale?
Grazie
Fabio
Risposte
Che cos'è un campo vettoriale?
Formalmente: una sezione (liscia) del fibrato tangente.
Informalmente: ad ogni punto della tua varietà ci appiccichi un vettore tangente e fai il tutto in maniera "tranquilla", cioè regolare (di solito, liscia).
Più seriamente, capisco e comprendo bene le tue perplessità. Tempo fa era toccato a me; ti suggerisco, infatti, di dare un'occhiata qui.
Formalmente: una sezione (liscia) del fibrato tangente.
Informalmente: ad ogni punto della tua varietà ci appiccichi un vettore tangente e fai il tutto in maniera "tranquilla", cioè regolare (di solito, liscia).
Più seriamente, capisco e comprendo bene le tue perplessità. Tempo fa era toccato a me; ti suggerisco, infatti, di dare un'occhiata qui.
Grazie Paolo90! Bè quelle 5 pagine sono dense di contenuti! Mi ci ritrovo molto anche nei discorsi che si legano a Meccanica Razionale (da me il corso si chiama Sistemi Dinamici... ho intenzione di darlo subito dopo Geometria II guarda caso!), però mi serve un po' di tempo per assimilarli!
Torniamo a noi, credo di aver capito cosa voglia dire derivare un campo vettoriale $W$ lungo un vettore tangente $v$, significa prendere una curva $\alpha$ tale che $\alpha'(0)=v$ e calcolare $((dW\alpha(t))/dt)|_(t=0)$... e mentalmente me lo immagino, riesco a dargli un senso, ma non capisco come si possa derivare un campo vettoriale normale al piano tangente lungo un vettore tangente... cioè se la direzione rispetto a cui derivo è ortogonale al vettore che voglio derivare.. ??
Mi devo essere perso qualcosa!
Tutta questa cosa è venuta fuori nel cercare di capire una proposizione sul differenziale dell'applicazione di Gauss che dice:
Se $\gamma: S -> S^2 $ è l'app di Gauss e $N_p$ il vettore normale al piano tangente nel punto $p\inS$, allora:
il differenziale di gamma valutato nel vettore $v\inT_p S$(piano tangente) $d\gamma_p(v)= \nabla_v N_p$ (che sarebbe la derivata lungo $v$ del campo $N$ giusto?)!
Ti ringrazio del tuo prezioso aiuto!
Torniamo a noi, credo di aver capito cosa voglia dire derivare un campo vettoriale $W$ lungo un vettore tangente $v$, significa prendere una curva $\alpha$ tale che $\alpha'(0)=v$ e calcolare $((dW\alpha(t))/dt)|_(t=0)$... e mentalmente me lo immagino, riesco a dargli un senso, ma non capisco come si possa derivare un campo vettoriale normale al piano tangente lungo un vettore tangente... cioè se la direzione rispetto a cui derivo è ortogonale al vettore che voglio derivare.. ??
Mi devo essere perso qualcosa!
Tutta questa cosa è venuta fuori nel cercare di capire una proposizione sul differenziale dell'applicazione di Gauss che dice:
Se $\gamma: S -> S^2 $ è l'app di Gauss e $N_p$ il vettore normale al piano tangente nel punto $p\inS$, allora:
il differenziale di gamma valutato nel vettore $v\inT_p S$(piano tangente) $d\gamma_p(v)= \nabla_v N_p$ (che sarebbe la derivata lungo $v$ del campo $N$ giusto?)!
Ti ringrazio del tuo prezioso aiuto!
Ok! Stamattina ho riletto il tutto, sopratutto la prima pagina della tua discussione del 2011 e mi si sono chiarite molte cose... quantomeno tutta l'ortografia usata!! Ho compreso le notazioni, cioè cosa voglia dire derivare un campo vettoriale rispetto ad un vettore tangente o rispetto ad un altro campo vettoriale... fieu! 
La definizione di vettore tangente proposta da maurer(riportata sotto) è illuminante e ho appena scoperto che le dispense del mio professore ne facevano implicitamente uso, senza però definire il vettore tangente, o meglio semplicemente scrivendo: "E' spesso utile interpretare i vettori tangenti come operatori differenziali estendendo in modo naturale la nozione di derivata direzionale ecc". Adesso invece comprendo, ad esempio, il motivo per cui si mette l'uguaglianza:
[tex]\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)_p = dG_(x_0)(e_1)[/tex]
(con G parametrizzazione) nello scrivere la base dello spazio tangente.
Ho però ancora qualche domanda:
1) che cosa è il "dato" di un vettore (citato sia nel Sernesi che in un post della tua discussione)?:
(qui riporto la citazione dal tuo post)
2) come è definita la base duale dello spazio tangente?
Def di vettore tangente:
La definizione di vettore tangente proposta da maurer(riportata sotto) è illuminante e ho appena scoperto che le dispense del mio professore ne facevano implicitamente uso, senza però definire il vettore tangente, o meglio semplicemente scrivendo: "E' spesso utile interpretare i vettori tangenti come operatori differenziali estendendo in modo naturale la nozione di derivata direzionale ecc". Adesso invece comprendo, ad esempio, il motivo per cui si mette l'uguaglianza:
[tex]\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)_p = dG_(x_0)(e_1)[/tex]
(con G parametrizzazione) nello scrivere la base dello spazio tangente.
Ho però ancora qualche domanda:
1) che cosa è il "dato" di un vettore (citato sia nel Sernesi che in un post della tua discussione)?:
(qui riporto la citazione dal tuo post)
"maurer":
Se te lo dico prometti di non arrabbiarti? Dai, ti credo sulla parola. Un campo vettoriale tangente è molto informalmente il dato di un vettore tangente alla varietà per ogni punto della varietà, che vari in maniera un po' decorosa (= differenziabile). Ora, dato [tex](a,b,c) \in \mathcal S^2[/tex], il piano (vettoriale) tangente è il piano di equazione [tex]ax+by+cz = 0[/tex]. Selezionando un qualsiasi vettore di questo piano abbiamo un vettore tangente. Ad esempio [tex](a,b,c) \cdot (b,-a,0) = 0[/tex], quindi [tex](b,-a,0)[/tex] è una possibile scelta. Il campo risultante è differenziabile, quindi siamo felicissimi.
2) come è definita la base duale dello spazio tangente?
Def di vettore tangente:
"maurer":
Il problema è definire il concetto di vettore tangente. Allora fissiamo un punto [tex]p \in M[/tex] sulla varietà e consideriamo le funzioni differenziabili (sai cosa intendo?) definite in un intorno di [tex]p[/tex]. Denotiamo questo insieme con [tex]\mathcal E_p(M)[/tex]. Osserviamo che se [tex]F,G \in \mathcal E_p(M)[/tex] allora [tex]F + G, FG \in \mathcal E_p(M)[/tex]. Diciamo che un vettore tangente è una qualsiasi applicazione [tex]\mathbf v(\cdot)_p : \mathcal E_p(M) \to \mathbb R[/tex] tale che
i. [tex]\mathbf v(\lambda F+ \mu G)_p = \lambda \mathbf v(F)_p + \mu \mathbf v(G)_p[/tex] per ogni [tex]F,G \in \mathcal E_p(M)[/tex], [tex]\lambda, \mu \in \mathbb R[/tex];
ii. [tex]\mathbf v(FG)_p = \mathbf v(F)_p G(p) + F(p) \mathbf v(G)_p[/tex]
[/list:u:8iq6wr8p]
Adesso, fissata una parametrizzazione [tex]\varphi^{-1} : \varphi(U) \to U \subset M[/tex] e denotate con [tex]q^i = x^i \circ \varphi[/tex] le coordinate locali, le funzioni [tex]\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial q^i} \right)_p : \mathcal E_p(M) \to \mathbb R[/tex] definite da [tex]\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial q^i} \right)_p(F) := \frac{\partial F \circ \varphi^{-1}}{\partial x^i}(\varphi(p))[/tex] sono vettori tangenti (osserva che adesso deriviamo in [tex]\mathbb R^n[/tex] e qui, grazie a dio, lo sappiamo fare)! (a te l'onere della - non troppo difficoltosa - verifica).
Yeee! Mi si è aperto un mondo con i vettori tangenti ed i campi vettoriali! Anzi, adesso capisco anche perché la base dello spazio tangente è data dalle derivate parziali della parametrizzazione. Soltanto non ho trovato ancora risposta a queste due domande, nel caso qualcuno sapesse risondermi 
"iDesmond":
Ho però ancora qualche domanda:
1) che cosa è il "dato" di un vettore (citato sia nel Sernesi che in un post della tua discussione)?:
2) come è definita la base duale dello spazio tangente?
o in generale come è definita la base duale?
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