Campi right e left invarianti

[r_maz]

Ciao ragazzi, sto studiando i gruppi di Lie e non riesco a capire una cosa riguardo i generatori dei campi left e right invarianti. In particolare pare che la base dei campi left invariante sia costituita dai generatori infinitesimali right invarianti e viceversa. Questo ha senso "intuitivamente" perché se ho un un punto qualsiasi della varietà e applico una traslazione infinitesima a destra, questa può essere vista come una traslazione sinistra del vettore tangente all'identità, ma non riesco a vederlo in termini più matematici (dal punto di vista delle formule). Chi mi può aiutare ?

Grazie mille

[killing_buddha]

Non capisco perché questa inversione: i campi invarianti da un lato devono essere generati da generatori dallo stesso lato (mediante esponenziazione). Vedi qui http://personalpages.to.infn.it/~billo/ ... groups.pdf

[r_maz]

Sì, effettivamente anche io pensavo fosse come hai detto tu. Nel pdf che mi hai mandato a pagina 14 dice "Eq. (1.3.79) states that the natural basis for the space of left-invariant vector fields is provided by the generators of ininitesimal right translations. Analogously, the natural basis for the space of right-invariant vector fields is provided by the generators of ininitesimal left translations."
A quanto ho capito, dopo averci pensato un bel po', un vettore tangente ad un punto qualsiasi di una varietà è identificabile con una traslazione (diciamo right) di un elemento infinitesimo(dunque molto "vicino" all'identità). A questo punto lo stesso elemento infinitesimo per cui è stato moltiplicato l'elemento generico della varietà corrisponde ad un vettore dello spazio tangente all'identità. Il campo vettoriale right nel punto generico è quindi una traslazione left del vettore tangente all'identità. Se cerchi di esprimere il campo vettoriale right in termini degli elementi di base dello spazio tangente all'identità lo puoi fare tramite una traslazione left. Credo sia questo il significato anche della figura 1.5 sempre a pagina 14.

Mi sono dato questa spiegazione che per ora mi tranquillizza... tu che ne pensi ?