Cambio sistema di riferimento

[abbax]

Risalve a tutti.
Ho un problemino con un esercizio su un cambio di un sistema di riferimento.
Alora il testo è il seguente:
Preso nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, considerate la seguente equazione:
[tex]3x^2 + 3y^2 + 2xy - 2x -6y + 2 = 0[/tex]
Si cambi il sistema di riferimento: la nuova origine sarà [tex](0,1)[/tex] mentre i versori saranno [tex]\frac{U_1-U_2}{2}\[/tex] e [tex]\frac{U_1+U_2}{2}\[/tex] con [tex]U_1 e U_2[/tex] versori canonici.
Trovare la nuova equazione.

Allora io personalmente ho posto semplicemente [tex]X' = \frac{x-y}{2}\[/tex] e [tex]Y' = \frac{x+y}{2}\ -1[/tex]
poi ho sostituito nell'equazione iniziale e fatto i conti... ma ovviamente non torna
avevo pensato anche di fare la matrice rappresentativa e trovare quella rispetto alla nuova base ma non saprei come trattare la traslazione. Qualcuno mi può aiutare?
Grazie in anticipo

[ciampax]

I nuovi vettori di base sono $(1/2,-1/2),\ (1/2,1/2)$ per cui devi trovare una matrice $((a\ b),(c\ d))$ tale che

$((a\ b),(c\ d))((1),(0))=(a\ c)^T=(1/2,-1/2)$
$((a\ b),(c\ d))((0),(1))=(b\ d)^T=(1/2,-1/2)$

e quindi il cambiamento di coordinate risulta

$X={x+y}/2,\ Y={x-y}/2+1$

Faccio presente che quando si scrive la matrice di una trasformazione, la sua rappresentante è data dalla trasposta!!!!

Le trasformazioni inverse sono $x=X+Y-1,\ y=X-Y+1$

[abbax]

Prima di tutto grazie mille per la disponibilità. ma non mi è molto chiara una cosa: non dovrebbe venire

[tex]{\left(\matrix{{1/2}\ {1/2}\\{-1/2}\ {1/2}}\right)} {\left(\matrix{{X}\\{Y}}\right)}={\left(\matrix{{X'}\\{Y'}}\right)}[/tex]
e quindi:
[tex]{X'}=\frac{{{x}+{y}}}{{2}},\ {Y'}=\frac{{{-x}+{y}}}{{2}}+{1}[/tex]

[ciampax]

Sì, scusa, ho scritto due volte $-1/2$ come seconda componente.

[abbax]

ah ok, grazie mille