Cambio di basi

[melli13]

Ciao a tutti…un esercizio mi chiede di scrivere la matrice del cambiamento di base dalla base $B={u_1,u_2,u_3}$ alla base $B’={u_3,u_4,u_5}$ con:
$u_1=(1,1,1), u_2=(0,0,1), u_3=(1,0,1), u_4=(1,0,0), u_5=(2,1,2)$
Mi sono determinata allora la matrice $I_(B,C)=((1,0,1),(1,0,0),(1,1,1))$ cioè la matrice del cambiamento di base da B a C, base canonica.
Poi ho trovato $I_(B’,C)=((1,1,2),(0,0,1),(1,0,2))$, cioè la matrice del cambiamento di base da B’ a C. Facendo l’inversa di quest’ultima trovo la matrice del cambiamento di base da C a B’.
Quindi per trovare la matrice del cambio di riferimento di base da B a B’ basta moltiplicare $I_(C,B’)=(I_(B’,C))^(-1)$ per $I_(B,C)$ ed ottengo la matrice $((-1,1,1),(0,-1,0),(1,0,0))$.
Il problema sorge nel fatto che le soluzioni danno questa matrice come cambio da B’ a B!
Eppure se faccio la prova ottengo che $u_1=-1*u_3+0*u_4+1*u_5=(-1,0,-1)+(2,1,2)=(1,1,1)$ e ci siamo! Stessa cosa per $u_2$ e $u_3$….è possibile che si sia confuso il libro?
Grazie per l’aiuto….

[Quinzio]

Le cose stanno così:
La matrice (io le scrivo usando la "M") $M_{CB}$ ti permette di scrivere:
$B=C\ M_{CB}$
dove $B$ sono i vettori della base scritti in colonna secondo la base canonica $C$.

Poi c'è la base
$B'=C\ M_{CB'}$

Ora usando la prima scrivo:
$C=B\ M_{CB}^{-1}$

sostituendo nella seconda

$B'=B\ M_{CB}^{-1}\ M_{CB'}$

Questa $\ M_{CB}^{-1}\ M_{CB'}$ è la matrice del cambio di base da $B$ a $B'$.... ti torna ?

Quella da $B'$ a $B$ la si trova facendo l'inversa.