Cambio di base matrice associata ad applicazione lineare

[lambda1]

Salve a tutti.
Studiando per il mio prossimo esame mi è venuto un dubbio sul cambio di base di una matrice associata ad un'applicazione lineare.

mettiamo caso di avere un'app lineare a caso, per esempio $ f(x,y,z)=(5x+2y,y -2z) $ da $ R^3 -> R^2 $
trovo quindi la matrice associata all'app lineare rispettiva alle basi canoniche di $ R^3 $ e $ R^2 $
che è $ ( ( 5 , 2 ,0 ),( 0 , 1 , -2 ) ) $ e fino a qua nessun problema.

se ora dicessi che voglio cambiare le basi da canoniche in
$ ( 1 , 2 , 0 ) $ , $ ( 0 , 3 , 0 ) $ , $ ( 0 , 3 , 1 ) $ per $R^3$ e
$ (1,1) $ , $(0,2)$ per $R^2$

come faccio le trasformazioni della matrice per arrivare alle nuove basi?

[Sk_Anonymous]

Fissiamo un po' di notazione: chiamo \(\mathcal{V}\) la nuova base di \(\mathbb{R}^3\) e \(\mathcal{W}\) la nuova base di \(\mathbb{R}^2\). Con \(\alpha_{\mathcal{W}, \mathcal{E}}(\text{id})\) indico la matrice che permette di passare dalla base \(\mathcal{W}\) alla base canonica; similemente faria con \(\alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{E}}(\text{id})\). In pratica si ha \[\alpha_{\mathcal{W}, \mathcal{E}}(\text{id}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\] e \[ \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{E}}(\text{id})= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Sia poi \(\alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{E}} (\phi)\) la matrice associata alla tua applicazione lineare. Allora si ha che \[\alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{W}}(\phi)=\alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{W}}(\text{id}) \circ \alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{E}}(\phi) \circ \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{E}}(\text{id}) \]ove \(\alpha_{\mathcal{E}, \mathcal{W}}(\text{id})=\alpha_{\mathcal{W}, \mathcal{E}}(\text{id})^{-1}\)

[Maci86]

Ottima la soluzione di Delirium, mi ha fatto ritornare ai tempi di Geometria 1 Io ti do uno spunto pratico:
Prima cosa lavoriamo sulla base di $RR^3$, noi vogliamo che, quando scriviamo il vettore $((1),(0),(0))$ nella nuova base, venga fuori il vettore $((1),(2),(0))$, similmente $((0),(1),(0))-> ((0),(3),(0))$ e $((0),(0),(1)) -> ((0),(3),(1))$. Troviamo una matrice che faccia tutto questo( sto lavoro non serve farlo ogni volta, serve a farti capire il meccanismo):
$((a_1,b_1,c_1),(a_2,b_2,c_2),(a_3,b_3,c_3))((1),(0),(0))= ((a_1),(a_2),(a_3))=((1),(2),(0))$
$((1,b_1,c_1),(2,b_2,c_2),(0,b_3,c_3))((0),(1),(0))= ((b_1),(b_2),(b_3))=((0),(3),(0))$
$((1,0,c_1),(2,3,c_2),(0,0,c_3))((0),(0),(1))= ((c_1),(c_2),(c_3))=((0),(3),(1))$
In pratica è la matrice che ha per colonne i vettori della base nell'ordine in cui sono in base:
$((1,0,0),(2,3,3),(0,0,1))$
Ora vediamo che se applicassimo la matrice di cambiamento di base alla funzione ci ritornerebbe un vettore "canonico" dello spazio $R^2$ ma noi non lo vogliamo canonico, lo vogliamo espresso in un'altra base, non ci resta che dire cosa sono i vettori canonici in questa nuova base:
$alpha((1),(1)) + beta((0),(2))=((1),(0))=> alpha=1, beta=-1/2=> ((1),(-1/2))$
$alpha((1),(1)) + beta((0),(2))=((1),(0))=> alpha=0, beta=1/2=> ((0),(1/2))$
Ora come prima non ci resta che metterli in colonna nell'ordine:
$((1,0),(-1/2,1/2))$
Non ci resta che metterle tutte assieme:
$((1,0),(-1/2,1/2))( ( 5 , 2 ,0 ),( 0 , 1 , -2 ) )((1,0,0),(2,3,3),(0,0,1))$
Capito? Se capisci il metodo di delirium e poi usi il mio metodo sei in una botte di ferro

[lambda1]

ooook grazie della spiegazione ora è molto più chiaro