Cambio di base
Salve volevo sottoporvi il seguente esercizio che non sono riuscito a risolvere. Mi è data l'equazione di un piano in forma intrinseca. Mi si chiede di trovare un vettore ortogonale al piano, in un sistema di riferimento non ortogonale in R3. Facilmente ho trovato il vettore n rispetto ad una base ortonormale( basta prendere i coefficienti di x1, x2, x3) ma non riesco a trasformare n rispetto a questa base non ortogonale. In pratica v3 forma con gli altri due vettori angoli di 60° gradi. Avete qualche suggerimento?? Grazie per l'attenzione.
[mod="Paolo90"]Sposto in Geometria.[/mod]
[mod="Paolo90"]Sposto in Geometria.[/mod]
Risposte
Ciao menico90, benvenuto nel forum.
Se non ho capito male, hai determinato un vettore calcolando i suoi coefficienti rispetto ad una base ortonormale e vuoi esprimere tale vettore come combinazione lineare dei vettori di un'altra base, giusto?
Se è così, devi solo impostare un sistema. Se vuoi, scrivi l'intera traccia dell'esercizio e proviamo a risolverlo concretamente.
Ricordati di usare le formule come da regolamento!
Se non ho capito male, hai determinato un vettore calcolando i suoi coefficienti rispetto ad una base ortonormale e vuoi esprimere tale vettore come combinazione lineare dei vettori di un'altra base, giusto?
Se è così, devi solo impostare un sistema. Se vuoi, scrivi l'intera traccia dell'esercizio e proviamo a risolverlo concretamente.
Ricordati di usare le formule come da regolamento!
il piano ha equazione intrinseca: x+y+z=10 Da questo ho ricavato n di coordinate $(1,1,1)$ al piano perpendicolare. Devo scrivere n rispetto alla base di R3 data da $v_1$, $v_2$, $v_3$ con angolo tra $v_3$ e $v_1$ e tra $v_3$ e $v_2$ uguale a $(/pi)/6$. Inoltre la norma di $v_3$ è due.
Il problema è capire chi sono i vettori $v_1,v_2,v_3$, ovvero le tre componenti di ognuno rispetto alla base ortonormale (che è la base canonica di $RR^3$, giusto?).
Non so se con queste informazioni riuscirei a trovarli. Ci sono altre informazioni che non conosco?
Se sei riuscito in qualche modo a trovare le componenti di ognuno dei $v_i$ rispetto alla base ortonormale, postale. Poi proveremo a capire le componenti rispetto alla nuova base del vettore $n$ di componenti $(1,1,1)$ rispetto alla base canonica.
Infine, una nota: un vettore ha componenti (rispetto ad una base) e non coordinate!
Non so se con queste informazioni riuscirei a trovarli. Ci sono altre informazioni che non conosco?
Se sei riuscito in qualche modo a trovare le componenti di ognuno dei $v_i$ rispetto alla base ortonormale, postale. Poi proveremo a capire le componenti rispetto alla nuova base del vettore $n$ di componenti $(1,1,1)$ rispetto alla base canonica.
Infine, una nota: un vettore ha componenti (rispetto ad una base) e non coordinate!
le uniche informazioni sulla base non ortonormale sono quelle che ho scritto, in particolare l'angolo tra $v_1$ e $v_2$ è di pi/2 e la norma di $v_1$ e $v_2$ è 1. Quindi $v_1$ e $v_2$ formano un sistema ortonormale. E' $v_3$ che forma angoli non ortogonali e non ha nemmeno lunghezza unitaria.
La base ortonormale è la base canonica $i,j,k$ di $RR^3$?
I vettori $v_1,v_2$ hanno una qualche relazione con $i,j,k$?
Scusa se ti ripeto la domanda, ma secondo me (attendiamo conferme), se le uniche informazioni che conosci su $v_1,v_2,v_3$ sono:
- $\ \ v_1 \bot v_2$,
- $\ \ ||v_1||=||v_2||=1$,
- $\ \ ||v_3||=2$,
- $\ \ \theta(v_1,v_3)=\theta(v_2,v_3)=\pi/6$,
la base $(v_1,v_2,v_3)$ non è univocamente determinata (perchè una volta ottenuta una base siffatta, basta ruotarla e si ottiene una base diversa che verifica queste proprietà). Quindi le componenti che ti servono non sono univocamente determinate.
I vettori $v_1,v_2$ hanno una qualche relazione con $i,j,k$?
Scusa se ti ripeto la domanda, ma secondo me (attendiamo conferme), se le uniche informazioni che conosci su $v_1,v_2,v_3$ sono:
- $\ \ v_1 \bot v_2$,
- $\ \ ||v_1||=||v_2||=1$,
- $\ \ ||v_3||=2$,
- $\ \ \theta(v_1,v_3)=\theta(v_2,v_3)=\pi/6$,
la base $(v_1,v_2,v_3)$ non è univocamente determinata (perchè una volta ottenuta una base siffatta, basta ruotarla e si ottiene una base diversa che verifica queste proprietà). Quindi le componenti che ti servono non sono univocamente determinate.
nel testo infatti recita si indichi un vettore n e non il vettore n
Ma certo, ogni vettore non nullo proporzionale a quello che hai trovato tu (cioè del tipo $\lambda n$, con $\lambdainRR$, $\lambda!=0$) è perpendicolare al piano.
Il problema è determinare le componenti di $n$ rispetto alla base $(v_1,v_2,v_3)$. Se non conosci chi è questa base come fai a trovare le componenti di $n$ rispetto a questa base?!
Il problema è determinare le componenti di $n$ rispetto alla base $(v_1,v_2,v_3)$. Se non conosci chi è questa base come fai a trovare le componenti di $n$ rispetto a questa base?!
questo esercizio l'ha dato il prof lo scorso testo d'esame. I suoi esercizi sono tutti così misteriosi... avevo pensato a costruire una matrice di cambiamento di base ma non sapendo le componenti della base non ortogonale... Si potrebbe mettere in gioco qualche relazione trigonometrica per trasformare il $v_3$ non ortogonale al versore $\hat K$ della base canonica?
Puoi copiare la traccia precisa? O inviarmi un link ad essa? Vorrei vederci chiaro in questo esercizio...
te l'ho mandato via email
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