Cambio base matrici associate ad applicazione lineare

[caffeinaplus]

Salve a tutti, ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire questo (per me) maledettissimo argomento

Allora, prendo un esercizio che stavo svolgendo ( tanto in linea generale in ogni esercizio ho difficoltà nello stesso punto )

Sia $S : \RR^3 \rarr \RR^3$ la funzione lineare associata a:

$ A = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 3 ) ) $

rispetto alla base $ B = {v_1 = (1,1,1), v_2= (0,2,2), v_3= (0,0,3)}$

L'esercizio mi chiede

Si scriva la matrice associata a S rispetto alla base canonica.

Allora inizio cercando le immagini dei vettori della base canonica, quindi vi risparmio i calcoli dicendo che si ottiene

$ S(e_1) = S(v_1 -1/2v_2)$
$ S(e_2) = S(1/2 v_2 -1/3 v_3)$
$ S(e_3) = S(1/3 v_3) $

Io a questo punto avrei messo le immagini della base canonica in una matrice e concluso, ma è palesemente sbagliato.Quello che non capisco è proprio il ragionamento che mi dovrebbe far dire "Ora moltiplica le coordinate dei vettori della base canonica per la matrice $A$ per ottenere la matrice associata giusta"

E in questo confido in voi, spero di essermi riuscito a spiegare al meglio nei miei dubbi

[Magma1]

Una funzione $S$ associata alla matrice $A$, in genere, è definita come $S(v)=Av$

con $A$ $nxxm$ e $v$ $mxx1$ [nota]riga $xx$ colonna.[/nota]