Cambio base a rappresentazione matriciale
Ho la matrice $A=((-2,-3,-3),(-1,0,-1),(5,5,6))$ rappresentativa di un certo omomorfismo rispetto entrambe le basi canoniche di $R^3$. Il problema chiede di calcolare la nuova matrice rappresentativa dello stesso omomorfismo rispetto alla base $B=((2,0,0),(1,0,1),(1,3,-1))$ e alla base canonica di $R^3$. Il libro calcola semplicemente le immagini dei vettori della base $B$ tramite $A$ e mettendole in colonna forma la nuova matrice rappresentativa. Qualcuno può spiegarmi il perchè della cosa? Io avevo pensato di calcolare le componenti di un generico vettore del tipo $(x,y,z)$ rispetto alla base $B$ dal momento che il nuovo endomorfismo in entrata chiede le componenti rispetto a questa base. Poi calcolarne le immagini e infine mettere in colonna(dal momento che la base di arrivo è la canonica di $R^3$ quindi il vettore immagine coincide con le sue componenti). Dove sbaglio io?
Risposte
Per capire la cosa io ho bisogno di distinguere due $RR^3$ - quello dei vettori e quello delle loro coordinate. L'endomorfismo opera sui vettori, le matrici sui vettori coordinate. Questo è un po' pedante, ma mi pare la cosa più corretta.
Decidiamo di scrivere in maiuscolo i vettori e in minuscolo i vettori delle coordinate - se si usa la base canonica le due cose coincidono. Nello stesso spirito ho anche usato delle parentesi diverse (tonde/quadre) nei due casi.
Poniamo $E_1:=((1),(0),(0)), E_2=((0),(1),(0)), E_3;=((0),(0),(1))$, $V_1:=((2),(1),(1))$, $V_2:=((0),(0),(3))$, $V_3:=((0),(1),(-1))$.
E' chiaro che - NELLA BASE CANONICA - $E_1$ si rappresenta come $e_1:=[(1),(0),(0)]$, $E_2$, come $e_2=[(0),(1),(0)]$, $E_3$ come $e_3:=[(0),(0),(1)]$, $V_1$ come $v_1:=[(2),(1),(1)]$, $V_2$ come $v_2:=[(0),(0),(3)]$ e $V_3$ come $v_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Calcoliamo $w_1=Av_1$, $w_2=Av_2$, $w_3=Av_3$. Viene - se non ho sbagliato i conti -
$w_1:=[(-2),(-3),(21)]$, $w_2:=[(-9),(-3),(18)]$ e $w_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Nella base canonica $w_1,w_2$ e $w_3$ rappresentano ovviamente $W_1:=((-2),(-3),(21))$, $W_2:=((-9),(-3),(18))$ e $W_3:=((0),(1),(-1))$ che sono dunque le immagini di $V_1$/$V_2$/$V_3$ tramite l'endomorfismo. <- CORREZIONE
Se invece si usa la base $B:={V_1,V_2.V_3}$ allora $V_1$ si rappresenta come $e_1$, $V_2$ come come $e_2$ e $V_3$ come come $e_3$.
ALLORA
Per scrivere l'endomorfismo con $B$ in partenza e la base canonica in arrivo ti serve una matrice che trasformi
$e_1$ (che individua $V_1$ in $B$) in $w_1$ (che individua $W_1$ nella base canonica), $e_2$ in $w_2$ ed $e_3$ in $w_3$. Per questo è semplice vedere che si deve prendere la matrice $[w_1,w_2,w_3]=[(-2,-9,0),(-3,-3,1),(21,18,-1)]$.
Questo è un fatto generale - preso un endomorfismo $f$, una base di partenza $B_1={U_1,...,U_n}$ e una base di arrivo
$B_2={V_1,...,V_n}$, allora la matrice che rappresenta $f$ è quella che ha come colonne i vettori delle coordinate
($w_1,...,w_n$) dei vettori $W_1=f(U_1),...,W_n=f(U_n)$ rispetto alla base $B_2$.
Decidiamo di scrivere in maiuscolo i vettori e in minuscolo i vettori delle coordinate - se si usa la base canonica le due cose coincidono. Nello stesso spirito ho anche usato delle parentesi diverse (tonde/quadre) nei due casi.
Poniamo $E_1:=((1),(0),(0)), E_2=((0),(1),(0)), E_3;=((0),(0),(1))$, $V_1:=((2),(1),(1))$, $V_2:=((0),(0),(3))$, $V_3:=((0),(1),(-1))$.
E' chiaro che - NELLA BASE CANONICA - $E_1$ si rappresenta come $e_1:=[(1),(0),(0)]$, $E_2$, come $e_2=[(0),(1),(0)]$, $E_3$ come $e_3:=[(0),(0),(1)]$, $V_1$ come $v_1:=[(2),(1),(1)]$, $V_2$ come $v_2:=[(0),(0),(3)]$ e $V_3$ come $v_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Calcoliamo $w_1=Av_1$, $w_2=Av_2$, $w_3=Av_3$. Viene - se non ho sbagliato i conti -
$w_1:=[(-2),(-3),(21)]$, $w_2:=[(-9),(-3),(18)]$ e $w_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Nella base canonica $w_1,w_2$ e $w_3$ rappresentano ovviamente $W_1:=((-2),(-3),(21))$, $W_2:=((-9),(-3),(18))$ e $W_3:=((0),(1),(-1))$ che sono dunque le immagini di $V_1$/$V_2$/$V_3$ tramite l'endomorfismo. <- CORREZIONE
Se invece si usa la base $B:={V_1,V_2.V_3}$ allora $V_1$ si rappresenta come $e_1$, $V_2$ come come $e_2$ e $V_3$ come come $e_3$.
ALLORA
Per scrivere l'endomorfismo con $B$ in partenza e la base canonica in arrivo ti serve una matrice che trasformi
$e_1$ (che individua $V_1$ in $B$) in $w_1$ (che individua $W_1$ nella base canonica), $e_2$ in $w_2$ ed $e_3$ in $w_3$. Per questo è semplice vedere che si deve prendere la matrice $[w_1,w_2,w_3]=[(-2,-9,0),(-3,-3,1),(21,18,-1)]$.
Questo è un fatto generale - preso un endomorfismo $f$, una base di partenza $B_1={U_1,...,U_n}$ e una base di arrivo
$B_2={V_1,...,V_n}$, allora la matrice che rappresenta $f$ è quella che ha come colonne i vettori delle coordinate
($w_1,...,w_n$) dei vettori $W_1=f(U_1),...,W_n=f(U_n)$ rispetto alla base $B_2$.
"ViciousGoblin":
Calcoliamo $w_1=Av_1$, $w_2=Av_2$, $w_3=Av_3$. Viene - se non ho sbagliato i conti -
$w_1:=[(-2),(-3),(21)]$, $w_2:=[(-9),(-3),(18)]$ e $w_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Nella base canonica $w_1,w_2$ e $w_3$ rappresentano ovviamente $W_1:=((-2),(-3),(21))$, $W_2:=((-9),(-3),(18))$ e $W_3:=((0),(1),(-1))$ che sono dunque le immagini di $E_1$/$E_2$/$E_3$ tramite l'endomorfismo.
Se invece si usa la base $B:={V_1,V_2.V_3}$ allora $V_1$ si rappresenta come $e_1$, $V_2$ come come $e_2$ e $V_3$ come come $e_3$.
Inanzitutto grazie mille per esserti preso la briga di spiegarmi con tanta completezza le cose. Non mi è chiaro un passaggio. Perchè $w_1$,$w_2$,$w_3$ sono le immagini di $E_1$,$E_2$,$E_3$?? Mi spiego meglio: dal momento che applichiamo $A$ a $v_1$,$v_2$,$v_3$ non dovrebbero essere, per definizione, le immagini di questi vettori? Stesso discorso per $V_i$ e $e_i$ citato in seguito.
"Slashino":
[quote="ViciousGoblin"]
Calcoliamo $w_1=Av_1$, $w_2=Av_2$, $w_3=Av_3$. Viene - se non ho sbagliato i conti -
$w_1:=[(-2),(-3),(21)]$, $w_2:=[(-9),(-3),(18)]$ e $w_3:=[(0),(1),(-1)]$.
Nella base canonica $w_1,w_2$ e $w_3$ rappresentano ovviamente $W_1:=((-2),(-3),(21))$, $W_2:=((-9),(-3),(18))$ e $W_3:=((0),(1),(-1))$ che sono dunque le immagini di $E_1$/$E_2$/$E_3$ tramite l'endomorfismo.
Se invece si usa la base $B:={V_1,V_2.V_3}$ allora $V_1$ si rappresenta come $e_1$, $V_2$ come come $e_2$ e $V_3$ come come $e_3$.
Inanzitutto grazie mille per esserti preso la briga di spiegarmi con tanta completezza le cose. Non mi è chiaro un passaggio. Perchè $w_1$,$w_2$,$w_3$ sono le immagini di $E_1$,$E_2$,$E_3$?? Mi spiego meglio: dal momento che applichiamo $A$ a $v_1$,$v_2$,$v_3$ non dovrebbero essere, per definizione, le immagini di questi vettori? Stesso discorso per $V_i$ e $e_i$ citato in seguito.[/quote]
$w_1,w_2$ e $w_3$ LI HO DEFINITI IO come $w_1=A v_1$ $w_2=A v_2$ e $w_3=A v_3$ (sperando di non avere sbagliato i calcoli ...) e analogamente ho definito i $W_1,W_2$ e $W_3$ in modo che $w_i$ rappresenti $W_i$, $i=1,2,3$, nella base canonica. Dato che $A$ individua l'endomorfismo (chiamiamolo $f$) nella base canonica SI RICAVA che $f(V_i)=W_i$. Se cambiassi le basi la matrice $A$ individuerebbe un endomorfismo diverso, così come i $w_i,e_i,v_i$ rappresenterebbero cose diverse.
Ricordati che la matrice $A$ opera sulle "rappresentazioni" (che dipendono dalle basi) mentre $f$ opera sugli "oggetti"
(che sfortunatamente per la comprensione sono cose dello stesso tipo).
HO EDITATO CORREGGENDO GLI ERRORI
$w_1,w_2$ e $w_3$ LI HO DEFINITI IO come $w_1=A e_1$ $w_2=A e_2$ e $w_3=A e_3$ (sperando di non avere sbagliato i calcoli ...)
L'unica parte che non mi è chiara è questa. Tu in realtà li hai definiti così:
"ViciousGoblin":
Calcoliamo $w_1=Av_1$, $w_2=Av_2$, $w_3=Av_3$. Viene - se non ho sbagliato i conti -
$w_1:=[(-2),(-3),(21)]$, $w_2:=[(-9),(-3),(18)]$ e $w_3:=[(0),(1),(-1)]$.
SCUSA - a un certo punto dei messaggi precedenti ho confuso $V_i$ e $E_i$ (e non avevo capito il senso dell'ultima richiesta). La cosa giusta è che $W_i=f(V_i)$ - mi pare comunque che poi le cose fossero giuste.
Vado a correggere gli errori.Dimmi se c'è ancora qualcosa che non torna
Vado a correggere gli errori.Dimmi se c'è ancora qualcosa che non torna
Perfetto! Tutto molto chiaro allora! Ti ringrazio 
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