Cambiamento di coordinate
ho il segunete esercizio che non riesco a risolvere
Nel piano euclideo sia fissato il riferimento R{O; v, w} dove, rispetto ad un altro sistema di
riferimento ortonormale, O = (1, 1), v = (−1, 0), w = (−1, 1). Determinare nel sistema di
riferimento R{O; v, w} l’equazione cartesiana e quella parametrica della retta r che contiene i
punti di coordinate (nel sistema di riferimento ortonormale iniziale) (0, 0) e (1, 1).
non so proprio da dove partire... mi potete almeno dare un suggerimento?
grazie a tutti
Nel piano euclideo sia fissato il riferimento R{O; v, w} dove, rispetto ad un altro sistema di
riferimento ortonormale, O = (1, 1), v = (−1, 0), w = (−1, 1). Determinare nel sistema di
riferimento R{O; v, w} l’equazione cartesiana e quella parametrica della retta r che contiene i
punti di coordinate (nel sistema di riferimento ortonormale iniziale) (0, 0) e (1, 1).
non so proprio da dove partire... mi potete almeno dare un suggerimento?
grazie a tutti
Risposte
ah ok. d'accordo. cmq l'ìimportante è che vengano gli stessi risultati.,
"miuemia":
Nel piano euclideo sia fissato il riferimento R{O; v, w} dove, rispetto ad un altro sistema di
riferimento ortonormale, O = (1, 1), v = (−1, 0), w = (−1, 1). Determinare nel sistema di
riferimento R{O; v, w} l’equazione cartesiana e quella parametrica della retta r che contiene i
punti di coordinate (nel sistema di riferimento ortonormale iniziale) (0, 0) e (1, 1).
Allora ragioniamo:
un punto $P$ ha coordinate $((x),(y))$ rispetto al sistema di riferimento ortonormale;
se vogliamo determinare le sue coordinate nel nuovo sistema di riferimento R{O;v,w}
dobbiamo scrivere:
$((x),(y)) = ((1),(1)) + x' ((-1),(0)) + y'((-1),(1))$
Le nuove coordinate sono $x'$ e $y'$.
Sono stato chiaro?
in poche parole, il vettore $((x),(y))$ si ottiene sommando il vettore $((1),(1))$
con una combinazione lineare dei vettori $v = ((-1),(0))$ e $w = ((-1),(1))$.
La matrice A di passaggio dal sistema di riferimento $R\{O; v, w\}$ a quella stardard è
$A = ((-1,-1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
Dovendo fare il passaggio inverso si calcola la matrice inversa:
$A^{-1} = ((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))$
Quindi i punti $(0,0)$ e $(1,1)$ nel riferimento sono
$((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))((0,1),(0,1),(1,1)) = ((2,0),(-1,0),(1,1))$ cioè $(2,-1)$ e $(0,0)$
E le due basi del riferimento
$((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))((1,0),(0,1),(0,0)) = ((-1,-1),(0,1),(0,0))$
come si desiderava.
Dai due punti si calcola direttamente la retta. La formula parametrica è quindi $(-2t, t)$ e quella cartesiana $x + 2y = 0$ (ho fatto qualche trasformazione del parametro $t$ per renderle un po' più belle...).
È questo che intendevo con calcoli meccanici. È sufficiente scrivere la matrice (nel caso invertirla) e poi fare le trasformazioni. È comodo se ci sono tante trasformazioni da comporre o se si vuole implementare queste cose in un programma.
$A = ((-1,-1,1),(0,1,1),(0,0,1))$
Dovendo fare il passaggio inverso si calcola la matrice inversa:
$A^{-1} = ((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))$
Quindi i punti $(0,0)$ e $(1,1)$ nel riferimento sono
$((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))((0,1),(0,1),(1,1)) = ((2,0),(-1,0),(1,1))$ cioè $(2,-1)$ e $(0,0)$
E le due basi del riferimento
$((-1,-1,2),(0,1,-1),(0,0,1))((1,0),(0,1),(0,0)) = ((-1,-1),(0,1),(0,0))$
come si desiderava.
Dai due punti si calcola direttamente la retta. La formula parametrica è quindi $(-2t, t)$ e quella cartesiana $x + 2y = 0$ (ho fatto qualche trasformazione del parametro $t$ per renderle un po' più belle...).
È questo che intendevo con calcoli meccanici. È sufficiente scrivere la matrice (nel caso invertirla) e poi fare le trasformazioni. È comodo se ci sono tante trasformazioni da comporre o se si vuole implementare queste cose in un programma.
@franced
d'accordo quello che hai scritto.... ma allora mi puoi dire quali sono le coordinate del vettore v nel sistema di riferimento ortonormale????
d'accordo quello che hai scritto.... ma allora mi puoi dire quali sono le coordinate del vettore v nel sistema di riferimento ortonormale????
"apatriarca":
Dai due punti si calcola direttamente la retta. La formula parametrica è quindi $(-2t, t)$ e quella cartesiana $x + 2y = 0$ (ho fatto qualche trasformazione del parametro $t$ per renderle un po' più belle...).
È questo che intendevo con calcoli meccanici. È sufficiente scrivere la matrice (nel caso invertirla) e poi fare le trasformazioni. È comodo se ci sono tante trasformazioni da comporre o se si vuole implementare queste cose in un programma.
Bene, hai trovato il mio risultato.
Ma non vedo la necessità delle matrici, in questo esercizio..
"franced":
Bene, hai trovato il mio risultato.
Ma non vedo la necessità delle matrici, in questo esercizio..
Il metodo con le matrici ha il vantaggio che non è necessario ragionare molto e si presta quindi alla verifica dei risultati (soprattutto se usato con un qualche programma come Maple). Volevo principalmente verificare il risultato ottenuto con un metodo alternativo (visto che miuemia aveva dubbi) e presentare questo metodo come alternativo se mai avrà a che fare con esercizi molto più complicati.
"apatriarca":
[quote="franced"]
Bene, hai trovato il mio risultato.
Ma non vedo la necessità delle matrici, in questo esercizio..
Il metodo con le matrici ha il vantaggio che non è necessario ragionare molto e si presta quindi alla verifica dei risultati (soprattutto se usato con un qualche programma come Maple). Volevo principalmente verificare il risultato ottenuto con un metodo alternativo (visto che miuemia aveva dubbi) e presentare questo metodo come alternativo se mai avrà a che fare con esercizi molto più complicati.[/quote]
Insomma, ho capito:
ti piacciono le matrici e le usi sempre..
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