Cambiamento di coordinate

[cavallipurosangue]

Salve, mettiamo di avere noto il tensore di differenza di curvatura di una superficie:

$K$$=((K_{x x},K_{xy}),(K_{xy},K_{yy}))$

Voglio trovare l'espressione delle curvature in un sistema locale (appartenente alla superficie indeformata) tramite coordinate polari.

Devo ammettere che qualche conoscenza di geometria differenziale non mi farebbe male, però siccome ho proceduto in un modo abbastanza lungo, prima di scriverlo, volevo sapere come approccereste voi il problema...

[cavallipurosangue]

Ok... allora dirò in breve come ho fatto:

si sa che:

${(K_{x x}=-(partial^2w)/(partialx^2)),(K_{yy}=-(partial^2w)/(partialy^2)),(K_{xy}=-(partial^2w)/(partialxpartialy)):}$

ma dato che $w=w(r(x,y),\theta(x,y))$

${(K_{x x}=-(partial^2w)/(partialr^2)((partialr)/(partialx))^2-(partialw)/(partialr)(partial^2r)/(partialx^2)),(K_{yy}=-(partial^2w)/(partialr^2)((partialr)/(partialy))^2-(partialw)/(partialr)(partial^2r)/(partialy^2)),(K_{xy}=-(partial^2w)/(partialr^2)(partialr)/(partialx)(partialr)/(partialy)-(partialw)/(partialr)(partial^2r)/(partialxpartialy)):}$

Poi ho trovato la rappresentazione del generico tensore di curvatura in funzione dell'angolo di rotazione, dato che nel sistema locale per ogni valore di $theta$ si ha una direzione diversa degli assi...

Facendo due conti si ottiene:

${(K_{rr}=K_{x x}cos^2\theta+K_{yy}sin^2\theta+2K_{xy}sin\thetacos\theta),(K_{\theta\theta}=K_{x x}sin^2\theta+K_{yy}cos^2\theta-2K_{xy}sin\thetacos\theta),(K_{\thetar}=(K_{yy}-K_{x x})sin\thetacos\theta+K_{xy}(cos^2\theta-\sin^2\theta)):}$

Sostituendo ancora ottengo:

${(K_{rr}=-(partial^2w)/(partialr^2)),(K_{\theta\theta}=-1/r(partialw)/(partialr)),(K_{\thetar}=0):}$

Tutto sembra tornare, ma secondo voi è corretto operare così?

[wedge]

sai cosa sono la trasformazione per covarianza e quella per controvarianza?

il tensore di curvatura, o di Riemann, ha tra indici in posizione covariante e uno in posizione controvariante

$(R^p)_(qlm)$

quindi la legge di trasformazione è $(R^p')_(q'l'm') = (A^p')_p (A^q')_q (A^m')_m (R^p)_(qlm) $

ove A ovviamente è la matrice di trasformazione di coordinate.

però nel caso di superficie bidimensionale la cosa si povrebbe ridurre al tuo ragionamento, che mi sembra corretto.

[mircoFN1]

Si, se i gradienti sono bassi, altrimenti già la prima definizione....

Inoltre mi sembra strano che tu ottenga una matrice diagonale in coordinate polari ... hai assunto una superficie di rivoluzione?

[cavallipurosangue]

A wedge: no non conosco quelle formule nè i concetti che stanno alla loro base...

A mircoFN:

Si ho implicitamente ammesso che i gradienti siano bassi, mi perdoni?

Comunque poi sì, nella fretta mi sono diemnticato di dire ancora una volta che c'è simmetria assiale, quindi è una superficie di rivoluzione, anzi anche piana in questo caso...

Se fosse stata una superficie di rivoluzione generica, allora sarei passato a coordinate sferiche, anche se, come sappiamo esiste un metodo più veloce ed operativo...