Cambiamento di base
Ciao a tutti, avrei un dubbio:
l'esercizio mi chiede di trovare un sottospazio ortogonale ad un vettore v.
una base del sottospazio è
$ {(-210)(-301)} $ come riesco a esprimerla rispetto questa base
$ {x, x^2, x^3} $ ?
Grazie
l'esercizio mi chiede di trovare un sottospazio ortogonale ad un vettore v.
una base del sottospazio è
$ {(-210)(-301)} $ come riesco a esprimerla rispetto questa base
$ {x, x^2, x^3} $ ?
Grazie
Risposte
Puoi scrivere per piacere la traccia completa, altrimenti diventa davvero impossibile aiutarti!
Chi è $v$? Ortogonale rispetto a cosa? $x,x^2,x^3$ cosa sono? Sii più preciso!
Chi è $v$? Ortogonale rispetto a cosa? $x,x^2,x^3$ cosa sono? Sii più preciso!
Ciao, scusami hai ragione ti scrivo l'esercizio completo:
Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado <=3 che si annullano in 0.
Sia il prodotto scalare dato da=f'(1)g'(1)-f(1)g(1)
allora si trovi la matrice rispetto alla base $ {x,x^2,x^3 } $
(e quella l'ho trovata), poi si determini lo spazio ortogonale al vettore $ x^2-x $ il mio problema non è trovare il sottospazio ortogonale, perche mi sono trovata una base che è $ {(-3 0 1) (-2 1 0)} $ poi però non riesco a trasformarla rispetto alla base $ { x, x^2, x^3} $.
Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi di grado <=3 che si annullano in 0.
Sia il prodotto scalare dato da
allora si trovi la matrice rispetto alla base $ {x,x^2,x^3 } $
(e quella l'ho trovata), poi si determini lo spazio ortogonale al vettore $ x^2-x $ il mio problema non è trovare il sottospazio ortogonale, perche mi sono trovata una base che è $ {(-3 0 1) (-2 1 0)} $ poi però non riesco a trasformarla rispetto alla base $ { x, x^2, x^3} $.
Puoi postare i conti che hai fatto e la matrice che hai trovato?
Si, allora dapprima mi sono trovata la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base data e ho trovato:
(non riesco a scrivere la matrice perchè mi dice che le dimensioni non sono valide) per cui la scrivo cosi:
012
135
258
poi mi scrivo il vettore indicato nel testo nelle coordinate rispetto alla base: per cui $ x^2-x $ nella base $ {x, x^2, x^3} $ e v= $ (-1 1 0) $
a questo punto un generico vettore w=$ (x y z) $ e ortogonale a v se e solo se$==0 $ di conseguenza risolvo il sistema
$ x+2y+3z=0 $ e trovo
$ {(-3 0 1 ) (-2 0 1 )} $ che sono i vettori che mi generano il sottospazio ortogonale
ora non so esprimere ciò rispetto alla base data all'inizio!
(non riesco a scrivere la matrice perchè mi dice che le dimensioni non sono valide) per cui la scrivo cosi:
012
135
258
poi mi scrivo il vettore indicato nel testo nelle coordinate rispetto alla base: per cui $ x^2-x $ nella base $ {x, x^2, x^3} $ e v= $ (-1 1 0) $
a questo punto un generico vettore w=$ (x y z) $ e ortogonale a v se e solo se$
$ x+2y+3z=0 $ e trovo
$ {(-3 0 1 ) (-2 0 1 )} $ che sono i vettori che mi generano il sottospazio ortogonale
ora non so esprimere ciò rispetto alla base data all'inizio!
Scusa per il ritardo, non avevo visto questo post...
io non so se quello che hai usato è il modo migliore per ottenere il complemento ortogonale... io farei così considerò $v$ generico vettore di $V$, cioè $v=ax^3+bx^2+cx$ ed impongo che $ = 0$.
A questo punto, se non ho sbagliato i calcoli ottengo $2a-b=0$ da cui $b=2a$. Cioè un vettore della forma $v=ax^3+2ax^2+cx$ è ortogonale al vettore dato, da cui non dovrebbe essere difficile estrarre una base da cui hai poi direttamente le componenti rispetto alla tua base canonica!
io non so se quello che hai usato è il modo migliore per ottenere il complemento ortogonale... io farei così considerò $v$ generico vettore di $V$, cioè $v=ax^3+bx^2+cx$ ed impongo che $
A questo punto, se non ho sbagliato i calcoli ottengo $2a-b=0$ da cui $b=2a$. Cioè un vettore della forma $v=ax^3+2ax^2+cx$ è ortogonale al vettore dato, da cui non dovrebbe essere difficile estrarre una base da cui hai poi direttamente le componenti rispetto alla tua base canonica!
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