Cambiamento Base + Proprietà Trasformazione Componenti

[Bacchinif]

Non mi dilungherò a scrivere tutti i passaggi dal momento che vorrei risolvere solo un dubbio in particolare che forse è più banale di quel che sembra.

Spazio Vettoriale di dimensione n.
Prendo due basi (Base1 e Base2) qualsiasi (per comodità una prendiamola Canonica, anche se non sarebbe necessario).
Scelgo un vettore generico (non m'importa la natura di questo vettore).
Decompongo il vettore in maniera univoca secondo le due basi, pervenendo così a due combinazioni lineari ed identificando n componenti (o coefficienti della combinazione) del vettore prima in un caso e poi in un altro.

Decido di scrivere una delle due basi (la scelta è indifferente, ma scelto Base2) come combinazione dell'altra. Ovvero, uno ad uno prendo i vettori della base scelta e li decompongo univocamente rispetto ad i vettori della Base1.
Ottengo una matrice quadrata dei coefficienti (detta anche Matrice di Rotazione se non erro), avente per righe proprio le componenti (o i coefficienti, ancora) dei vettori della Base2 rispetto alla Base1.
Ho così effettuato un cambiamento di Base.

Ritorno alla decomposizione del vettore generico rispetto alla Base2 e riscrivo i vettori della Base cambiata nel modo appena trovato.
Ho trovato, così, due decomposizioni del vettore generico rispetto alla Base1 che avranno componenti uguali ma diverse nella mia scrittura.
Trasformazione di Componenti avvenuta.

Qui arrivano le "rogne".

Posso finalmente eguagliare una ad una le componenti del vettore generico rispetto alla Base1 (quelle che avevamo in principio) con quelle appena trovate a seguito del cambiamento di Base.
Mi trovo, così, davanti ad un sistema lineare avente per Matrice dei Coefficienti proprio la Matrice di Rotazione di cui sopra.
Bene.
Adesso, a lezione m'è stato detto (senza troppo impegno) che ci sono tre proprietà fondamentali di questa trasformazione.
Esse sono le seguenti:

1. Linearità
(Mi trovo davanti ad una trasformazione lineare ed il sistema è anch'esso lineare.

2. Det A (Det Matrice di Rotazione) diverso da 0.
(Ad occhio e croce il Rango di questa matrice è massimo e non potrebbe essere diversamente, dal momento che per decomporre i vettori di una Base rispetto ad un'altra Base automaticamente ho una Matrice con Rango massimo)

3. Il Sistema è Omogeneo.
(?)
Questa non mi è molto chiara.
Tutta la costruzione che ho descritto mi è abbastanza chiara (e spero di non aver fatto errori), ma sulle proprietà elencate sento che non è stato fatto un eccessivo approfondimento.
Per prima cosa mi sembra banale la proprietà numero 1. e non so se sarebbe necessaria qualche altra precisazione; ma è la numero 3. a darmi maggiori problemi.
Forse non sto riuscendo per bene a visualizzare la faccenda. Come può essere Omogeneo il sistema al quale sono pervenuto se la colonna del termine noto è occupata dalle componenti iniziali del vettore generico rispetto alla Base1?

Mi scuso enormemente per non aver scritto le formule, ma la notazione che m'è stata data è piuttosto ostica da riportare.
Ove mai fosse necessaria proverò a riportarla.
Grazie in anticipo!

[Bacchinif]

Proverò a scrivere le formule, così caso mai sarà più chiaro!