Calcolo Tensoriale e Teorema di Gauss

[Fox4]

Dunque, io ho l'integrale di un campo vettoriale [tex]C : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex]
e voglio calcolare
[tex]\int_{\partial B} C(x)\cdot n\; dA[/tex] dove [tex]B\subset \mathbb{R}^3[/tex] e [tex]n[/tex] è la normale al bordo di [tex]B[/tex]

Il mio problema adesso è capire come posso applicare il teorema di Gauss nel caso in cui io non abbia una base ortonormale,
cioè [tex]C(x)\cdot n= C^i g_{ij} n^j[/tex]

Ho provato ad abbassare l'indice di [tex]C[/tex] e poi farne la divergenza ma [tex]C_{j|j}[/tex] non sono sicuro sia una quantità invariante (anzi penso proprio di no)
la divergenza corretta sarebbe [tex]C^i_{|i}[/tex], giusto? (con la notazione [tex]|i[/tex] negli indici intendo la derivata rispetto a [tex]x^i[/tex])


come posso dimostrare il teorema in questo caso?
In alternativa su che libro potrei trovare una spiegazione che non usi un formalismo troppo astratto?

Aiuto! Brancolo proprio nel buio

[Fox4]

Ok il teorema è identico e si applica così (correggetemi se sbaglio)
[tex]\int_{\partial B} C\cdot n\; dA= \int_{\partial B} C^i g_{ij} n^j \; dA= \int_{B} C^i_{|i} \; dV= \int_{B} div C \; dV[/tex]

Nel caso di un tensore 2 volte covariante [tex]T_{ij}[/tex] invece:
[tex]\int_{\partial B} Tn \; dA= \int_{\partial B} T_{ij} n^j \; dA= ?[/tex] a cosa è uguale?
Devo alzare l'indice? E mi rimane dietro la metrica allora nel risultato? Perché?