Calcolo parabola
sono inciampato in un esercizio più facile a dirsi che a farsi però purtroppo non ne sto venendo fuori.
determinare la parabola $p$ avente fuoco in $F(1,2,1)$ e direttrice $d:{(x+y+1=0),(x+z+2=0):}$
be per risolverlo basta applicare la definizione formale di luogo geometrico della parabola ovvero la parabola è il luogo geometrico dei punti reali e propri $P$ aventi il rapporto tra la distanza dal fuoco e dalla relativa direttrice costante.questo rapporto è pari ad $1$.
applicando la definizione e considerando il generico punti $P(x,y,z)$ appartenente alla parabola $p$ si ha
${d(P,F)}/{d(P,d)}=1$
per il calcolo della distanza tra il punto $P$ ed il fuoco $F$ basta applicare la formula distanza punto punto nello spazio
ma il calcolo della distanza nello spazio tra retta e punto mi mette in difficoltà.o meglio io so calcolare la distanza retta punto nello spazio però qui il punto è generico e mi crea problemi.
io mi calcolo il vettore direttivo della retta $d$.poi mi calcolo il piano perpendicolare a $d$ e passante per $P$.faccio l'intersezione piano retta.mi trovo un punto e mi calcolo la distanza tra il punto trovato ed il punto $P$.
questo è il mio ragionamento però purtroppo fuori strada.
mi trovo il vettore direttivo della retta $d$ che sarebbe $(1,-1,-1,0)$.Poi mi calcoli il piano perpendicolare a $d$ e passante per $P$.purtroppo qui ho un problema.perché non ottengo un piano bensì una fascio di piani con un parametro.come faccio?
determinare la parabola $p$ avente fuoco in $F(1,2,1)$ e direttrice $d:{(x+y+1=0),(x+z+2=0):}$
be per risolverlo basta applicare la definizione formale di luogo geometrico della parabola ovvero la parabola è il luogo geometrico dei punti reali e propri $P$ aventi il rapporto tra la distanza dal fuoco e dalla relativa direttrice costante.questo rapporto è pari ad $1$.
applicando la definizione e considerando il generico punti $P(x,y,z)$ appartenente alla parabola $p$ si ha
${d(P,F)}/{d(P,d)}=1$
per il calcolo della distanza tra il punto $P$ ed il fuoco $F$ basta applicare la formula distanza punto punto nello spazio
ma il calcolo della distanza nello spazio tra retta e punto mi mette in difficoltà.o meglio io so calcolare la distanza retta punto nello spazio però qui il punto è generico e mi crea problemi.
io mi calcolo il vettore direttivo della retta $d$.poi mi calcolo il piano perpendicolare a $d$ e passante per $P$.faccio l'intersezione piano retta.mi trovo un punto e mi calcolo la distanza tra il punto trovato ed il punto $P$.
questo è il mio ragionamento però purtroppo fuori strada.
mi trovo il vettore direttivo della retta $d$ che sarebbe $(1,-1,-1,0)$.Poi mi calcoli il piano perpendicolare a $d$ e passante per $P$.purtroppo qui ho un problema.perché non ottengo un piano bensì una fascio di piani con un parametro.come faccio?
Risposte
Ottieni un fascio di piani? E come è possibile? Se fissi il punto $P(x,y,z)$ il piano che trovi è $X-x-(Y-y)-(Z-z)=0$ che è unico. (Ricorda che $(x,y,z)$ sono fissate).
già giusto il punto $P$ è fissato.non ci avevo pensato
purtroppo continuando con i calcoli arrivo ad ottenere una quadrica e non una parabola infatti i termini in $z$ non vanno via.con cosa devo intersecare questa quadrica?
proseguendo i calcoli ottengo la quadrica $x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz-12x-12y-12z=0$
e per ottenere la parabola desiderata?
proseguendo i calcoli ottengo la quadrica $x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz-12x-12y-12z=0$
e per ottenere la parabola desiderata?
Ovvio che ottieni una quadrica (visto che sei nello spazio). A questo punto devi trovare il piano in cui giace la parabola... e questo piano dovrà contenere gli oggetti caratteristici della parabola stessa, non ti pare? Alla fine la parabola sarà data dall'intersezione tra quadrica e piano (mettendo semplicemente a sistema le due equazioni).
ovvero mi devo trovare il piano contenente il punto $F$ e la retta $d$.esatto?
il piano cercato dovrebbe essere $y-z-1=0$ intersecando il suddetto piano con la quadrica ottengo la parabola cercata.esatto?
Eh già! 
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