Calcolo norma 2 di una matrice

[Della921]

Buonasera a tutti.
Chiedi lumi in materia di norme matriciali.

Le norme di Frobenius, la norma-1 e norma-infinito di una matrice sono facile, basti calcolare:

- nel primo caso il quadrato della somma di tutti gli elementi della matrice;
- nel secondo caso il massimo della somma lungo le colonne;
- nel terzo caso il massimo della somma lungo le righe;

Quando giungo alla definizione di norma-2, non riesco a seguire la definizione per calcolare la norma...

$ ||A||_{p} = Sup_{ ||x||\ne 0} ||Ax||_{p}/||x||_{p} = Max_{ ||x||_{p}=1} ||Ax||_{p} $

Quindi nel caso $p=2$ avrei

$ ||A||_{2} = Sup_{ ||x||\ne 0} ||Ax||_{2}/||x||_{2} = Max_{ ||x||_{2}=1} ||Ax||_{2} $

domanda 1) Immaginando una matrice $A^(mxn)$, basta che abbia un vettore qualsiasi $x^(nx1)$ con norma-2 unitaria e faccio il calcolo? esempio, immaginando $n=3$:

$x=[1,0,0]^T$ oppure $x=[0,1,0]^T$ ?


Ho trovato un'altra definizione di norma-2 di matrice, con $A$ matrice complessa:

$ ||A||_{2} = \sqrt(lambda_{max}A^*A)$, ove con $lambda_{max}$, ove si indica (credo) il raggio spettrale della matrice $A$ e con $A^*$ la matrice trasposta coniugata di $A$, ovvero $A^*=conj(A^T)$.

La mia domanda è: 2) essendo la norma di matrice un operatore che va da un campo $K^(mxn) -> R^+$, quindi è uno scalare, com'è possibile ottenere uno scalare dalla radice quadrata del prodotto di due matrici, moltiplicata per una costante?

Ho girato molto il web alla ricerca di delucidazioni, ma tutti si fermano alla formula data sopra senza dare alcuna esemplificazione, a meno della norma-1, Frobenius e infinito. Grazie a tutti dell'aiuto