Calcolo matrice diagonale simile
Salve a tutti sono di nuovo qui con un nuovo dubbio sulle matrici,qui di sotto espongo il problema
Si dica se la seguente matrice a coefficienti reali è diagonalizzabile per similitudine e in caso affermativo si determini una matrice diagonale simile ad A
$((7,1,1,1),(0,-11,0,0),(7,3,3,2),(0,1,-2,-1))$
Ora per la prima parte è molto semplice,mi calcolo gli autovalori prima e poi le molteplicità algebriche/geometriche e se queste sono identiche e se sommate(o le una o le altre) danno n allora la risposta è positiva.
Dai calcoli mi risulta che ottengo $lambda_1=0$ $lambda_2=-11$ $lambda_3=1$ $lambda_4=8$ tutte con molteplicità alg/geo pari a 1.
Ora dovrei calcolare la matrice diagonale simile ad A.
Credo che si tratti della matrice diagonale composta dagli autovalori ma non ne sono sicuro,e qui appunto arriva il mio primo dubbio.
Credo che si trattino di dubbi forse un pò semplici,e magari quando mi darete la risposta mi ci farò una bella risata per la banalità,ma fino ad allora aspetto vostre risposte
Grazie a tutti per l'aiuto
Un mio secondo dubbio riguarda il calcolo della matrice P che diagonalizza ($B=P^-1*A*P$),non so se è necessario o meno
Si dica se la seguente matrice a coefficienti reali è diagonalizzabile per similitudine e in caso affermativo si determini una matrice diagonale simile ad A
$((7,1,1,1),(0,-11,0,0),(7,3,3,2),(0,1,-2,-1))$
Ora per la prima parte è molto semplice,mi calcolo gli autovalori prima e poi le molteplicità algebriche/geometriche e se queste sono identiche e se sommate(o le una o le altre) danno n allora la risposta è positiva.
Dai calcoli mi risulta che ottengo $lambda_1=0$ $lambda_2=-11$ $lambda_3=1$ $lambda_4=8$ tutte con molteplicità alg/geo pari a 1.
Ora dovrei calcolare la matrice diagonale simile ad A.
Credo che si tratti della matrice diagonale composta dagli autovalori ma non ne sono sicuro,e qui appunto arriva il mio primo dubbio.
Credo che si trattino di dubbi forse un pò semplici,e magari quando mi darete la risposta mi ci farò una bella risata per la banalità,ma fino ad allora aspetto vostre risposte
Grazie a tutti per l'aiuto
Un mio secondo dubbio riguarda il calcolo della matrice P che diagonalizza ($B=P^-1*A*P$),non so se è necessario o meno
Risposte
Chiedo scusa mi è venuto in mente una sorta di extra,una piccola riflessione.
Allora,ho pensato che la matrice formata dagli autovalori sia effettivamente la matrice B che sto cercando.
Ora mi chiedevo il ruolo di P in tutta la faccenda,e dato che e la matrice che in teoria dovrebbe permettere il passaggio da A a B ho pensato che forse sia necessaria calcolarla proprio per questo motivo,per provare l'esistenza di B.
Ora però se tutto quello che ho detto è giusto,l'unico dubbio che mi rimane è il seguente:
se sappiamo già di partenza che la matrice B esiste tramite la dimostrazione che ci ha portato a dire che la matrice A è diagonalizzabile per similitudine,perché allora andarsi a calcolare P?
Allora,ho pensato che la matrice formata dagli autovalori sia effettivamente la matrice B che sto cercando.
Ora mi chiedevo il ruolo di P in tutta la faccenda,e dato che e la matrice che in teoria dovrebbe permettere il passaggio da A a B ho pensato che forse sia necessaria calcolarla proprio per questo motivo,per provare l'esistenza di B.
Ora però se tutto quello che ho detto è giusto,l'unico dubbio che mi rimane è il seguente:
se sappiamo già di partenza che la matrice B esiste tramite la dimostrazione che ci ha portato a dire che la matrice A è diagonalizzabile per similitudine,perché allora andarsi a calcolare P?
Se non sbaglio la matrice diagonale simile è semplicemente:
$((0,0,0,0),(0,-11,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,8))$
$((0,0,0,0),(0,-11,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,8))$
Che corrisponde appunto agli autovalori inseriti in una matrice diagonale
Ok questo è già un dubbio risolto
Ok questo è già un dubbio risolto
Devi provare l'esistenza di una matrice diagonale (in questo caso B) simile alla matrice A. Ma questo vuol dire mostrare che A è diagonalizzabile e già l'hai fatto.
Per quanto riguarda il calcolo di P, se non è richiesto esplicitamente, non è necessario ovviamente. La sua esistenza è garantita dal fatto che A è diagonalizzabile (basta riguardarsi la definizione di similitudine fra matrici).
Per quanto riguarda il calcolo di P, se non è richiesto esplicitamente, non è necessario ovviamente. La sua esistenza è garantita dal fatto che A è diagonalizzabile (basta riguardarsi la definizione di similitudine fra matrici).
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