Calcolo integrale doppio
Ciao a tutti
sto ripassando un po' di matematica e per farlo uso degli esercizi interattivi che ho trovato online
in pratica ho la possibilità di compilare il campo della risposta e mi viene detto se la risposta è giusta o sbagliata
il testo dell'esercizio dice
date due curve $f(x) = 1-1/4 x^2$ e $g(x) = 1-1/8 x^2$ e presi i semiassi positivi per $x$ e $y$
calcolare
[tex]\displaystyle\int_{A} \frac{2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\, dA[/tex]
per prima cosa ho disegnato le due parabole rovesciate e mi sono venute quelle in figura
quindi devo integrare rispetto alla zona sottesa tra le due curve.
dato che hanno una forma che ricorda una circonferenza (pur non essendolo in quanto sono parabole) ho pensato di usare le coordinate cartesiane, quindi ho posto
$x = rho cos phi $
$y = rho sin phi $
per fare il cambio di variabili ho calcolato la matrice Jacobiana che mi è venuta
[tex]J= \begin{pmatrix} \cos\phi & -\rho\sin\phi \\ \sin\phi & \rho\cos\phi \end{pmatrix}[/tex]
il cui determinante mi da $\rho$
poi ho pensato che nella figura sopra, ho $2 \leq x \leq 4$ che portato in coordinate polari mi da $ 2 \leq rho cos phi \leq 4$
ovvero
$ 2/(cos phi) \leq rho \leq 4/(cos phi)$
mentre $0 \leq phi \leq pi/2$
quindi calcolo
[tex]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{2}{\cos\phi}}^{\frac{4}{\cos\phi}} \frac{2 \rho \cos\phi}{(\rho^{2}\cos^{2}\phi +\rho^{2}\sin^{2}\phi )^{2}} |\det (J)| d\rho d\phi =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{2}{\cos\phi}}^{\frac{4}{\cos\phi}} \frac{ \cos\phi}{\rho^{2}} d\rho d\phi[/tex]
non vi scrivo i passaggi per questioni di tempo ma mi da $pi/8$
il ragionamento mi sembra giusto e calcoli dell'integrale sono relativamente facili, il che mi fa pensare che io sia sulla buona strada, il problema mi nasce dal fatto che il campo da compilare è puramente numerico, quindi non posso riportare il pi greco, e mettendo sotto forma di decimali con vari arrotondamenti continua a dirmi che è sbagliato
secondo voi il mio ragionamento è corretto?
grazie a tutti
sto ripassando un po' di matematica e per farlo uso degli esercizi interattivi che ho trovato online
in pratica ho la possibilità di compilare il campo della risposta e mi viene detto se la risposta è giusta o sbagliata
il testo dell'esercizio dice
date due curve $f(x) = 1-1/4 x^2$ e $g(x) = 1-1/8 x^2$ e presi i semiassi positivi per $x$ e $y$
calcolare
[tex]\displaystyle\int_{A} \frac{2x}{(x^{2} + y^{2})^{2}}\, dA[/tex]
per prima cosa ho disegnato le due parabole rovesciate e mi sono venute quelle in figura
quindi devo integrare rispetto alla zona sottesa tra le due curve.
dato che hanno una forma che ricorda una circonferenza (pur non essendolo in quanto sono parabole) ho pensato di usare le coordinate cartesiane, quindi ho posto
$x = rho cos phi $
$y = rho sin phi $
per fare il cambio di variabili ho calcolato la matrice Jacobiana che mi è venuta
[tex]J= \begin{pmatrix} \cos\phi & -\rho\sin\phi \\ \sin\phi & \rho\cos\phi \end{pmatrix}[/tex]
il cui determinante mi da $\rho$
poi ho pensato che nella figura sopra, ho $2 \leq x \leq 4$ che portato in coordinate polari mi da $ 2 \leq rho cos phi \leq 4$
ovvero
$ 2/(cos phi) \leq rho \leq 4/(cos phi)$
mentre $0 \leq phi \leq pi/2$
quindi calcolo
[tex]\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{2}{\cos\phi}}^{\frac{4}{\cos\phi}} \frac{2 \rho \cos\phi}{(\rho^{2}\cos^{2}\phi +\rho^{2}\sin^{2}\phi )^{2}} |\det (J)| d\rho d\phi =2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\frac{2}{\cos\phi}}^{\frac{4}{\cos\phi}} \frac{ \cos\phi}{\rho^{2}} d\rho d\phi[/tex]
non vi scrivo i passaggi per questioni di tempo ma mi da $pi/8$
il ragionamento mi sembra giusto e calcoli dell'integrale sono relativamente facili, il che mi fa pensare che io sia sulla buona strada, il problema mi nasce dal fatto che il campo da compilare è puramente numerico, quindi non posso riportare il pi greco, e mettendo sotto forma di decimali con vari arrotondamenti continua a dirmi che è sbagliato
secondo voi il mio ragionamento è corretto?
grazie a tutti
Risposte
Non va bene la definizione del raggio in funzione di $\theta$.
Hai scritto $2/(cos \theta) \le \rho \le 4/(cos(\theta))$, ma prova a pensare quando $\theta=(\pi)/(2)$, se il raggio che trovi è uguale a quello che vedi sul grafico.
Hai scritto $2/(cos \theta) \le \rho \le 4/(cos(\theta))$, ma prova a pensare quando $\theta=(\pi)/(2)$, se il raggio che trovi è uguale a quello che vedi sul grafico.
In effetti ho capito il mio errore,
grazie,
però adesso mi ritrovo con lo stesso problema di prima
stando al tuo ragionamento quando $phi = 0$ ho $rho=2$ e nuovamente quando $phi= pi/2$ ho $rho=2$
se li considerassi lineari dovrei avere una retta credo dove la variabile dipendente è $rho$ avrei una retta parallela all'asse $phi$
questa cosa mi blocca un po'
sbaglio ragionamento?
grazie,
però adesso mi ritrovo con lo stesso problema di prima
stando al tuo ragionamento quando $phi = 0$ ho $rho=2$ e nuovamente quando $phi= pi/2$ ho $rho=2$
se li considerassi lineari dovrei avere una retta credo dove la variabile dipendente è $rho$ avrei una retta parallela all'asse $phi$
questa cosa mi blocca un po'
sbaglio ragionamento?
"Summerwind78":
In effetti ho capito il mio errore,
grazie,
però adesso mi ritrovo con lo stesso problema di prima
E qual è il tuo errore ?
Secondo me non l'hai capito. Guarda che non devi fare contento me.
stando al tuo ragionamento quando $phi = 0$ ho $rho=2$ e nuovamente quando $phi= pi/2$ ho $rho=2$
Io non ho fatto alcun ragionamento aggiuntivo ai tuoi. Ti ho solo fatto vedere che la tua formula è incompatibile con quello che si vede sul grafico (che è corretto). Quando $\phi = (\pi)/(2)$ la tua formula per il raggio restituisce infinito, ma sicuramente sul grafico il raggio NON è infinito.
se li considerassi lineari dovrei avere una retta credo dove la variabile dipendente è $rho$ avrei una retta parallela all'asse $phi$
Cos'è che sarebbe "lineare" ? Qual è il soggetto della frase ?
Dovrei avere una retta ? Quale retta ? Da dove parte dove passa ? A cosa dovrebbe servire ?
L'asse $\phi$ ? E cosa mai sarebbe ?
questa cosa mi blocca un po'
sbaglio ragionamento?
Se sapessi qual è il tuo ragionamento te lo potrei dire.
La mia idea è che stai sparando un po' a caso per avere un aiuto o per far sembrare non so cosa come se questo fosse un esame. Questo però non è un esame e il tuo atteggiamento suona un po' irritante.
Se vuoi un aiuto il modo migliore è chiederlo direttamente e far vedere che hai cercato di capire qualcosa di quello che stai facendo.
Non ce l'ho con te però certi atteggiamenti suonano un po' come "presa per i fondelli".
Scusa Quinzio
non sto cercando affatto di prendere in giro qualcuno.
relativamente al mio primo errore intendevo solo dire che ho capito che confrontando il raggio in funzione dell'angolo come lo avevo interpretato io inizialmente con il grafico che ho fatto, il mio ragionamento non poteva che essere sbagliato, in quanto per $phi=pi/2$ avrei avuto un raggio pari a $2/0 = oo$
Mi riferivo solo a quello dicendo che ho capito il mio errore. Al fatto che quel mio ragionamento non ha senso.
Tu non hai aggiunto alcun ragionamento al mio, questo è vero, la mia frase è stata impropria.
Per quanto riguarda la "linearità" io intendevo dire che:
prendendo una circonferenza espressa in coordinate cartesiane, se espressa in coordinate polari dove sull'asse dell'ascissa ho l'angolo e su quello dell'ordinata ho il raggio, che pertanto è in dipendenza dall'angolo, non può che essere una retta proprio perché il raggio non è dipendente in realtà dall'angolo.
Adesso che ci rifletto meglio mi vien da pensare che potrebbe essere più sensato usare un sistema di coordinate paraboliche e non polari.
Spero di aver spiegato meglio cosa stavo pensando.
uscendo dal discorso puramente matematico...
ti pregherei di andare a vedere i più di 500 post che ho all'attivo. Se guardi anche solo alcuni di questi noterai che, prima di tutto, non mi permetto mai di prendere in giro nessuno, sia quando pongo io delle domande, sia quando sono io a rispondere, e inoltre vedrai che quando ho una domanda diretta da fare la faccio senza pormi problemi sempre cercando di rispettare il regolamento del forum.
Non sono uno studentello che entra qui e posta domande del tipo "come si fa l'esercizio?".
Pur facendo un ragionamento completamente sbagliato, ho comunque cercato di inserire nel post quale fosse stato il mio modo di procedere, e non mi pare di aver buttato due formule a casaccio solo per rispettare il regolamento del forum.
Non mi vergogno affatto di dire che ho delle difficoltà, sarebbe sciocco da parte mia scrivere un post nel forum e poi non voler ammettere di non capire e non fare larghi giri per non chiedere direttamente cosa non mi è chiaro.
Io non sto studiano in alcun modo, non ho esami da dare, sto solo ripassando un po' di matematica perché è da tempo che non la guardo, o meglio che non guardo alcuni argomenti, e mi rendo conto che mi sto arrugginendo.
Come ti ho detto da subito in questo mio ultimo post, mi dispiace di averti dato l'impressione di volerti prendere in giro, ma allo stesso tempo credo che tu sia stato un po' frettoloso nel giudicare.
Ti ringrazio comunque per le risposte che mi hai dato perché mi hanno permesso di capire che quel mio metodo non era in effetti privo si senso.
non sto cercando affatto di prendere in giro qualcuno.
relativamente al mio primo errore intendevo solo dire che ho capito che confrontando il raggio in funzione dell'angolo come lo avevo interpretato io inizialmente con il grafico che ho fatto, il mio ragionamento non poteva che essere sbagliato, in quanto per $phi=pi/2$ avrei avuto un raggio pari a $2/0 = oo$
Mi riferivo solo a quello dicendo che ho capito il mio errore. Al fatto che quel mio ragionamento non ha senso.
Tu non hai aggiunto alcun ragionamento al mio, questo è vero, la mia frase è stata impropria.
Per quanto riguarda la "linearità" io intendevo dire che:
prendendo una circonferenza espressa in coordinate cartesiane, se espressa in coordinate polari dove sull'asse dell'ascissa ho l'angolo e su quello dell'ordinata ho il raggio, che pertanto è in dipendenza dall'angolo, non può che essere una retta proprio perché il raggio non è dipendente in realtà dall'angolo.
Adesso che ci rifletto meglio mi vien da pensare che potrebbe essere più sensato usare un sistema di coordinate paraboliche e non polari.
Spero di aver spiegato meglio cosa stavo pensando.
uscendo dal discorso puramente matematico...
ti pregherei di andare a vedere i più di 500 post che ho all'attivo. Se guardi anche solo alcuni di questi noterai che, prima di tutto, non mi permetto mai di prendere in giro nessuno, sia quando pongo io delle domande, sia quando sono io a rispondere, e inoltre vedrai che quando ho una domanda diretta da fare la faccio senza pormi problemi sempre cercando di rispettare il regolamento del forum.
Non sono uno studentello che entra qui e posta domande del tipo "come si fa l'esercizio?".
Pur facendo un ragionamento completamente sbagliato, ho comunque cercato di inserire nel post quale fosse stato il mio modo di procedere, e non mi pare di aver buttato due formule a casaccio solo per rispettare il regolamento del forum.
Non mi vergogno affatto di dire che ho delle difficoltà, sarebbe sciocco da parte mia scrivere un post nel forum e poi non voler ammettere di non capire e non fare larghi giri per non chiedere direttamente cosa non mi è chiaro.
Io non sto studiano in alcun modo, non ho esami da dare, sto solo ripassando un po' di matematica perché è da tempo che non la guardo, o meglio che non guardo alcuni argomenti, e mi rendo conto che mi sto arrugginendo.
Come ti ho detto da subito in questo mio ultimo post, mi dispiace di averti dato l'impressione di volerti prendere in giro, ma allo stesso tempo credo che tu sia stato un po' frettoloso nel giudicare.
Ti ringrazio comunque per le risposte che mi hai dato perché mi hanno permesso di capire che quel mio metodo non era in effetti privo si senso.
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