Calcolo giacitura piano

[Niernen]

Salve a tutti! Ho un dubbio per quanto riguarda un esercizio in cui si deve descrivere la posizione di una retta e un piano al variare del un parametro $k$. In particolare nell'esercizio si hanno:
$\pi_k =3x + 2y − kz + 1 = 0$
$r : \{(x = 1 + t),(y = 2 - t),(z = 3t):}$
Sono riuscita a risolvere l'esercizio semplicemente usando una formula che ho trovato nel mio libro di algebra sulla condizione di parallelismo, ma nelle soluzioni agli esercizi il mio professore ha agito in un altro modo che non credo di aver afferato completamente, soprattutto per quanto riguarda il calcolo della giacitura del piano. Nella soluzione proposta infatti dice che bisogna studiare le giaciture dei due spazi, ovvero
$Giac r = < ((1), (-1), (3)) >$
$Giac \pi_k = {y = (kz − 3x)/2} = < ((2), (-3), (0)), ((0), (k), (2))>$
Non capisco come ha fatto a determinare la giacitura di $\pi_k$, l'unica cosa che mi è venuta in mente è che una volta determinata $y$ in funzione delle altre variabili abbia assegnato valori a caso ad $x$ e $z$ ma non sono sicura di questa spiegazione! E' corretto?
Grazie a tutti!!!

[anto_zoolander]

la giacitura del piano è dato dai vettori le cui coordinate rispetto alla base(che suppongo sia quella canonica) che risolvono il sistema, quindi

$3x+2y-kz=0$ da cui $y=(kz-3x)/2$ come ha fatto il tuo prof e pertanto la sua giacitura sarà data dai vettori

$(x,y,z)=(x,(kz-3x)/2,z)=x/2(2,-3,0)+z/2(0,k,2)$ essendo due vettori linearmente indipendenti al variare di $k$ formano una base del piano. Poi se consideri che il punto $(1,-1,0)$ risolve l'equazione allora il piano sarà

$pi_k:= (1,-1,0)+<(2,-3,0),(0,k,2)>$

[Niernen]

Grazie mille!!!