Calcolo esponenziale di una matrice

[qadesh1]

ciao a tutti,
avrei bisogno di una conferma su un esercizio che sto facendo.

data la matrice $A = ((0,1,0),(1,0,1),(0,1,0))$

calcolare $C = e^(\theta A)$.

Allora ho trovato che gli autovalori di $A$ sono: $\lambda = 0,+-sqrt(2)$,

gli autovettori sono :
$V_1 = {1}/{sqrt(2)} ((-1),(0),(1))$ , $V_2 = {1}/{2} ((1),(sqrt(2)),(1))$ ,$V_3 = {1}/{2} ((1),(-sqrt(2)),(1))$.

La matrice $C = e^(\theta A)$ è un funzione della matrice iniziale ,quindi avrà gli stessi autovettori di $A$(che sono quelli appena calcolati).Allora,in questa base $C = e^(\theta A) = ((1,0,0),(0,e^(-\theta sqrt(2)),0),(0,0,e^(\theta sqrt(2))))$.

E' giusto? che ne dite?

[ciampax]

Manca qualcosa, non ti pare? La matrice $A$ è diagonalizzabile, per cui esiste una matrice $P$ tale che $A=PDP^{-1}$ dove $D$ è la forma diagonale della matrice. Osservando che $A^n=PD^n P^{-1}$ la matrice esponenziale che cerchi può essere scritta come
$$e^{\theta A}=e^{\theta PDP^{-1}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\theta^n}{n!} P D^n P^{-1}=P\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(\theta D)^n}{n!}\right) P^{-1}=P e^{\theta D} P^{-1}$$
D'altra parte, come è facile vedere, $e^{\theta D}$ risulta una matrice diagonale con elementi diagonali gli autovalori di $D$ moltiplicati per $\theta$, Tuttavia, devi ancora dire come è fatta la matrice $P$.

[qadesh1]

quindi mi stai dicendo che :

$e^(\theta A) = P^(-1) ((1,0,0),(0,e^(-\theta sqrt(2)),0),(0,0,e^(\theta sqrt(2)))) P$

con $P = ((-{1}/{sqrt(2)},{1}/{2},{1}/{2}),(0,{sqrt(2)}/{2},-{sqrt(2)}/{2}),({1}/{sqrt(2)},{1}/{2},{1}/{2}))$?

[ciampax]

Non te lo sto dicendo, è la teoria che te lo dice!