Calcolo di una matrice rispetto a una base
Buongiorno a tutti.
Come tutti i giorni faccio degli esercizi di algebra(ho un esame fra un paio di mesi),e mi sono imbarcato in questo esercizio:
Sia T l'endomorfismo di $RR^3$ tale che:
T((0,1,0))=(0,4,0) T((1,1,0))=(0,4,1) T((0,-1,1))=(0,-1,1)
a)Si scriva la matrice A che rappresenta T rispetto alla base naturale
b)Si trovino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile
c)Si scriva la matrice B che rappresenta T rispetto alla base ((0,1,0),(1,1,0),(0,-1,1)) nel dominio e alla base naturale nel codominio
E una delle prime volte che affronto questi problemi,ma senza demordere credo di aver raggiunto la risposta dei primi due quesiti(spero siano corretti,mal che va se qualcuno e cosi paziente da verificare e eventualmente discutere di eventuali errori lo ringrazio infinitamente).
a) A= $((0,0,1),(0,4,0),(0,3,1))$ considerando che $((y^1),(y^2),(y^3))$=$((x^1),(x^2),(x^3))$*$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$
b) $\lambda_1$=0 m.a.($\lambda_1$)=1; $\lambda_2$=4 m.a.($\lambda_2$)=1; $\lambda_3$=1 m.a.($\lambda_3$)=1 || si è diagonalizzabile
A questo punto però mi fermo sul punto c),perché non comprendo esattamente la richiesta,in quanto non mi è chiaro il concetto di dominio e codominio nelle matrici,e pertanto avrei bisogno di una guida su come affrontare la richiesta spinosa per risolvere l'esercizio,sperando di non aver fatto qualche errore prima
Come tutti i giorni faccio degli esercizi di algebra(ho un esame fra un paio di mesi),e mi sono imbarcato in questo esercizio:
Sia T l'endomorfismo di $RR^3$ tale che:
T((0,1,0))=(0,4,0) T((1,1,0))=(0,4,1) T((0,-1,1))=(0,-1,1)
a)Si scriva la matrice A che rappresenta T rispetto alla base naturale
b)Si trovino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile
c)Si scriva la matrice B che rappresenta T rispetto alla base ((0,1,0),(1,1,0),(0,-1,1)) nel dominio e alla base naturale nel codominio
E una delle prime volte che affronto questi problemi,ma senza demordere credo di aver raggiunto la risposta dei primi due quesiti(spero siano corretti,mal che va se qualcuno e cosi paziente da verificare e eventualmente discutere di eventuali errori lo ringrazio infinitamente).
a) A= $((0,0,1),(0,4,0),(0,3,1))$ considerando che $((y^1),(y^2),(y^3))$=$((x^1),(x^2),(x^3))$*$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$
b) $\lambda_1$=0 m.a.($\lambda_1$)=1; $\lambda_2$=4 m.a.($\lambda_2$)=1; $\lambda_3$=1 m.a.($\lambda_3$)=1 || si è diagonalizzabile
A questo punto però mi fermo sul punto c),perché non comprendo esattamente la richiesta,in quanto non mi è chiaro il concetto di dominio e codominio nelle matrici,e pertanto avrei bisogno di una guida su come affrontare la richiesta spinosa per risolvere l'esercizio,sperando di non aver fatto qualche errore prima
Risposte
Se posti gli svolgimenti dei punti a) e b) sono sicuro che qualcuno di buona volontà li visionerà con cura.
Per il punto a) avrai preso i vettori della base canonica (nello spazio vettoriale dominio $RR^3$) e avrai trovato le loro immagini mediante $T$.
Queste tre immagini le hai scritte, una per volta, come combinazione lineare della base (*) (dell'$RR^3$ codominio, che è sempre la base canonica); a ciascuno di questi tre vettori nell'immagine puoi associare una terna di scalari, le coordinate del vettore considerato, cioè i coefficienti della combinazione lineare (*). Incolonnando i tre vettori coordinati così determinati costruisci la tua matrice.
Per il punto c) l'unica cosa che cambia è che al posto della scritta rossa, nel procedimento illustrato sopra, devi considerare i vettori della base $\{(0,1,0),(1,1,0),(0,-1,1)\}$(che non è quella canonica).
Per il punto a) avrai preso i vettori della base canonica (nello spazio vettoriale dominio $RR^3$) e avrai trovato le loro immagini mediante $T$.
Queste tre immagini le hai scritte, una per volta, come combinazione lineare della base (*) (dell'$RR^3$ codominio, che è sempre la base canonica); a ciascuno di questi tre vettori nell'immagine puoi associare una terna di scalari, le coordinate del vettore considerato, cioè i coefficienti della combinazione lineare (*). Incolonnando i tre vettori coordinati così determinati costruisci la tua matrice.
Per il punto c) l'unica cosa che cambia è che al posto della scritta rossa, nel procedimento illustrato sopra, devi considerare i vettori della base $\{(0,1,0),(1,1,0),(0,-1,1)\}$(che non è quella canonica).
Chiedo scusa hai ragione,in effetti per valutare se ho fatto bene e meglio che faccio vedere come ci sono arrivato
Spero solo di non aver scritto qualche cavolata,mal che va ci rimetto la faccia ma ci guadagno di intelletto.
Considerando che $T((x^1;x^2;x^3))=(y^1,y^2,y^3)$ (chiedo scusa per il ; dovrebbe essere un , ma poi mi parte una matrice) che,se non sbaglio,equivale a scrivere $((y^1),(y^2),(y^3))= T * ((x^1),(x^2),(x^3))$ (T e una matrice generica) passo a trovare T:
$y^1=a_1^1 x^1 + a_1^2 x^2 + a_1^3 x^3$
$y^2=a_2^1 x^1 + a_2^2 x^2 + a_3^3 x^3$
$y^1=a_3^1 x^1 + a_2^2 x^2 + a_3^3 x^3$
Da qui sostituendo i valore per x e per y si ottengono appunto i valori $a_i^j$ della matrice T riportati qui sotto:
T((0,1,0))=(0,4,0)
$0=a_1^2$
$4=a_2^2$
$0=a_3^2$
T((1,1,0))=(0,4,1)
$0=a_1^1 + a_1^2$ $=>$ $0=a_1^1$
$4=a_2^1 + a_2^2$ $=>$ $0=a_2^1$
$1=a_3^1 + a_3^2$ $=>$ $1=a_3^1$
T((0,-1,1))=(0,-1,1)
$0=- a_1^2 + a_1^3$ $=>$ $0=a_1^3$
$4=- a_2^2 + a_2^3$ $=>$ $3=a_2^3$
$1=- a_3^2 + a_3^3$ $=>$ $1=a_3^3$
da qui arriva la matrice T=$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$
adesso possiamo trovare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base naturale:
T((1,0,0))=(0,0,1) || T((0,1,0))=(0,4,0) || T((0,0,1))=(0,3,1) ovvero A=$((0,0,1),(0,4,0),(0,3,1))$ che conclude la parte A.
Per la parte B invece si riparte da T=$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$ e si fa il determinante del polinomio caratteristico:
$|tI-A|$=$|(t,0,0),(0,t-4,3),(1,0,t-1)|$ che con l'operazione $a^3-1/t a^1$ diventa $|(t,0,0),(0,t-4,3),(0,0,t-1)|$=$t(t-4)(t-1)$ e quindi $\lambda_1=0$ $\lambda_2=4$ $\lambda_3=1$ con molteplicità algebrica(e quindi anche geometrica in questo caso) pari a 1 in tutti e 3 i casi.
Dato che la matrice è di ordine 3 e la somma delle molteplicità geometriche è uguale a 3 possiamo affermare che la matrice è diagonalizzabile,e quindi anche T.
Riguardo a c) non ho ancora ben compreso,non sono ancora pratico purtroppo.
Devo purtroppo chiederti di spiegarti un pò meglio e ti chiedo scusa per il disturbo extra.
Spero solo di non aver scritto qualche cavolata,mal che va ci rimetto la faccia ma ci guadagno di intelletto.
Considerando che $T((x^1;x^2;x^3))=(y^1,y^2,y^3)$ (chiedo scusa per il ; dovrebbe essere un , ma poi mi parte una matrice) che,se non sbaglio,equivale a scrivere $((y^1),(y^2),(y^3))= T * ((x^1),(x^2),(x^3))$ (T e una matrice generica) passo a trovare T:
$y^1=a_1^1 x^1 + a_1^2 x^2 + a_1^3 x^3$
$y^2=a_2^1 x^1 + a_2^2 x^2 + a_3^3 x^3$
$y^1=a_3^1 x^1 + a_2^2 x^2 + a_3^3 x^3$
Da qui sostituendo i valore per x e per y si ottengono appunto i valori $a_i^j$ della matrice T riportati qui sotto:
T((0,1,0))=(0,4,0)
$0=a_1^2$
$4=a_2^2$
$0=a_3^2$
T((1,1,0))=(0,4,1)
$0=a_1^1 + a_1^2$ $=>$ $0=a_1^1$
$4=a_2^1 + a_2^2$ $=>$ $0=a_2^1$
$1=a_3^1 + a_3^2$ $=>$ $1=a_3^1$
T((0,-1,1))=(0,-1,1)
$0=- a_1^2 + a_1^3$ $=>$ $0=a_1^3$
$4=- a_2^2 + a_2^3$ $=>$ $3=a_2^3$
$1=- a_3^2 + a_3^3$ $=>$ $1=a_3^3$
da qui arriva la matrice T=$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$
adesso possiamo trovare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base naturale:
T((1,0,0))=(0,0,1) || T((0,1,0))=(0,4,0) || T((0,0,1))=(0,3,1) ovvero A=$((0,0,1),(0,4,0),(0,3,1))$ che conclude la parte A.
Per la parte B invece si riparte da T=$((0,0,0),(0,4,3),(1,0,1))$ e si fa il determinante del polinomio caratteristico:
$|tI-A|$=$|(t,0,0),(0,t-4,3),(1,0,t-1)|$ che con l'operazione $a^3-1/t a^1$ diventa $|(t,0,0),(0,t-4,3),(0,0,t-1)|$=$t(t-4)(t-1)$ e quindi $\lambda_1=0$ $\lambda_2=4$ $\lambda_3=1$ con molteplicità algebrica(e quindi anche geometrica in questo caso) pari a 1 in tutti e 3 i casi.
Dato che la matrice è di ordine 3 e la somma delle molteplicità geometriche è uguale a 3 possiamo affermare che la matrice è diagonalizzabile,e quindi anche T.
Riguardo a c) non ho ancora ben compreso,non sono ancora pratico purtroppo.
Devo purtroppo chiederti di spiegarti un pò meglio e ti chiedo scusa per il disturbo extra.
I calcoli sono corretti?
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