Calcolo di una base di uno spazio vettoriale particolare

[lordb]

Ciao a tutti questo è un problema che non riesco a risolvere, eppure sembra molto semplice...

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P.s($a,c in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$ ma non serve a nulla in questo esercizio.)

Allora per prima cosa ho pensato di trovare come debba essere scritta una generica matrice $X$, perciò:

se $X=((x,y),(z,w))$ per definizione $((x,y),(z,w))*((10,-c),(7,-a))=((0,0),(0,0))$ cioè $((10x+7y,text{ } -cx-a y),(7w+10z,text{ } -aw-cz))=((0,0),(0,0))$

Dunque viene un sistema di questo tipo:
${(10 x+7 y =0,text{ } x=0),(-c x-a y=0,text{ } y=0),(7 w+10 z =0,text{ } z=0),(-a w-c z = 0,text{ } w=0):}$

Perciò solo se $X=((0,0),(0,0))$ allora $X*((10,-c),(7,-a))=((0,0),(0,0))$.

Dunque la mia risposta sarebbe: lo spazio vettoriale delle matrici reali $X$ è lo spazio banale che contiene solo il vettore nullo: dunque l'unica base di uno spazio vettoriale di tal genere è per definizione ${text{ } }$:l'insieme vuoto.

In realtà la soluzione è:

$B={((a-7,text{ }10-c),(0,0)),((0,0),(a-7,text{ }10-c))}$

Qualche idea?

[Raptorista1]

Perché, quando fai il prodotto \(XA\), \(-a\) e \(-c\) spariscono?

[lordb]

Si, scusa. Avevo copiato dal foglio di carta il tentativo di verifica sostituendo a $c$ ed a $a$ due numeri. Ecco ora ho modificato.