Calcolo di un volume

[enPed]

Vi porgo un esercizio:

calcolare l'area della porzione di cilindro di equazione: $ x^2 + z^2 = 9 $

individuata dalle limitazioni: $ x>=0 $, $ y>=0 $, $ z>=0 $, $ (z/3) + (y/2) <=1 $

[Luca.Lussardi]

Parametrizza il cilindro e calcola l'area con la formula integrale (integrale di superficie della funzione 1).

[fireball1]

Ma non viene richiesto di calcolare un volume? Non è un esercizio di integrali doppi?

[enPed]

ho qualche difficoltà nel parametrizzare il cilindro, potreste darmi una mano?

[fireball1]

Si "legge" dall'equazione cartesiana che il cilindro ha raggio 3
ed è messo "orizzontalmente", cioè ha la base nel piano $xz$.
Perciò possiamo parametrizzarlo seguendo questo ragionamento:
nel piano $xz$ ci dovrà essere una circonferenza di raggio 3,
mentre l'asse del cilindro dovrà essere parallelo all'asse y. Quindi,
nel piano $xz$ parametrizziamo la circonferenza con un'applicazione:
$gamma:(0,2pi]->RR^2, theta |-> (3costheta,3sintheta)
A questo punto il cilindro si otterrà in questo modo:
$phi:(0,2pi]xxRR->RR^3, (theta,t)|->(3costheta,t,3sintheta)
Ovvero le equazioni parametriche saranno:
${(x(theta,t)=3costheta),(y(theta,t)=t),(z(theta,t)=3sintheta):}
Questo è un cilindro indefinito. Facendo variare $t$ in un opportuno
intervallo chiuso e limitato contenuto in $RR$ si otterrà un cilindro "vero e proprio".

[fireball1]

"Reynolds":Ma non viene richiesto di calcolare un volume? Non è un esercizio di integrali doppi?

Scusate, ho visto solo adesso che il titolo del topic dice "calcolo di un volume"
ma il messaggio riguarda il calcolo di un'area...

[enPed]

grazie per l'aiuto!