Calcolo determinanti tra matrici
ho un piccolo dubbio...ho il seguente quesito...
" Se $|A|=1/3, |B^-1|=1/4, |C|=3/2$ allora $|1/2A^(-1)BC^(-1)|=4$ è vera o falsa???? "
io mi sono fatta i miei calcoli e per me è vera...vorrei un vostro parere in merito...
" Se $|A|=1/3, |B^-1|=1/4, |C|=3/2$ allora $|1/2A^(-1)BC^(-1)|=4$ è vera o falsa???? "
io mi sono fatta i miei calcoli e per me è vera...vorrei un vostro parere in merito...
Risposte
mi sta venendo un dubbio!!!! ma il determinante della matrice inversa non è il determinante inverso della matrice originaria????
Vuoi postare la tua soluzione? Dovrebbe essere falsa se sei in dimensione maggiore di 1...
la soluzione è quella che ho postato all'inizio.....il compito mi dice: "date tre matrici quadrate di ordine tre A,B,C. quale di queste affermazioni è falsa?"
e poi mi da varie opzioni....ma la risposta esatta (quindi falsa) è questa:
" Se $|A|=1/3,|B^-1|=1/4,|C|=3/2$ allora $|1/2A^-1BC^-1|=4$
in base hai miei calcoli:$|A^-1|=3,|B|=4,|C^-1|=2/3$ e quindi secondo me questa affermazione è vera e non falsa perchè $|1/2*3*4*2/3|=4$ dove sbaglio??? oppure ha sbagliato il prof?
e poi mi da varie opzioni....ma la risposta esatta (quindi falsa) è questa:
" Se $|A|=1/3,|B^-1|=1/4,|C|=3/2$ allora $|1/2A^-1BC^-1|=4$
in base hai miei calcoli:$|A^-1|=3,|B|=4,|C^-1|=2/3$ e quindi secondo me questa affermazione è vera e non falsa perchè $|1/2*3*4*2/3|=4$ dove sbaglio??? oppure ha sbagliato il prof?
il punto è che porti fuori male l'1/2 dall'espressione del determinante.
E' vero che:
$det(1/2*A^{−1}BC^{−1})=det(1/2)det(A^{-1})det(B)det(C^{-1})$
ma $det(1/2)=1/8$ (in 3 dimensioni non l'avevi scritto nel primo messaggio)!.....( perchè????)
in altre parole se hai una matriche $K$ $nxn$ ed un numero $a$ devi stare attenta a come porti fuori i fattori.
Vale $det(aK)=a^ndet(K)$ e non $det(aK)=adet(K)$ (perchè????)
torna?
E' vero che:
$det(1/2*A^{−1}BC^{−1})=det(1/2)det(A^{-1})det(B)det(C^{-1})$
ma $det(1/2)=1/8$ (in 3 dimensioni non l'avevi scritto nel primo messaggio)!.....( perchè????)
in altre parole se hai una matriche $K$ $nxn$ ed un numero $a$ devi stare attenta a come porti fuori i fattori.
Vale $det(aK)=a^ndet(K)$ e non $det(aK)=adet(K)$ (perchè????)
torna?
O_o scusa ma non ti seguo....perchè $1/2=1/8$?
mmm... dove ho scritto questo? 
... tieni conto che ho scritto $det(1/2)$ e se scrivo det di qualcosa quel qualcosa è una matrice, in questo casuo una matrice 3x3 con degli $1/2$ sulla diagonale!
E' una notazione standare indicare con un numero $a$ la matrice che ha tutti $a$ sulla diagonale. In sostanza si considera implicito il prodotto per la matrice identità.
Ricorda sempre quel che stai facendo. In ogni formula chiediti: "questo è un numero?", "questo è una matrice?". Solo dandoti risposte a queste domande puoi capire che oggetti stai manipolando. Ti consiglio di fare questo esercizio con le formule da te scritte sopra.
... tieni conto che ho scritto $det(1/2)$ e se scrivo det di qualcosa quel qualcosa è una matrice, in questo casuo una matrice 3x3 con degli $1/2$ sulla diagonale!E' una notazione standare indicare con un numero $a$ la matrice che ha tutti $a$ sulla diagonale. In sostanza si considera implicito il prodotto per la matrice identità.
Ricorda sempre quel che stai facendo. In ogni formula chiediti: "questo è un numero?", "questo è una matrice?". Solo dandoti risposte a queste domande puoi capire che oggetti stai manipolando. Ti consiglio di fare questo esercizio con le formule da te scritte sopra.
quindi quel $1/2$ non è un numero casuale da moltiplicare per le matrici....ma una matrica stessa come lo è A,B e C...adesso capisco....quindi il determinante di 1/2 è ovviamente 1/8 ed è questo che devo moltiplicare per gli altri determinanti..giusto il mio ragionamento?...l'unica cosa che non mi è molto chiara è questa: tu hai detto che mi devo sempre chiedere se quello che ho è un numero o una matrice....per capirlo se non mi sbagliodevo vedere se quel numero è scritto cosi $det|1/2|$ oppure cosi $1/2$ giusto? nel primo casoè una matrice nel secondo un normale numero da moltiplicare
Si diciamo che se calcoli il determinante di $1/2$ allora molto probabilmente si tratta di una matrice nxn, anche se non è detto, potresti stare calcolando il determinante di una matrice 1x1 che è semplicemente il numero stesso. Dipende insomma dalla dimensione della matrice e quella te la deve dire qualcos'altro!
Ti faccio notare il caso patologico iniziale. Se ti dico che $K$ e' un matrice $nxn$, allora cosa è $1/2*K$ ? Puoi intedere che motiplichi ogni elemento di $K$ per $1/2$ ed in tal caso staresti considerando $1/2$ come numero, oppure puoi intendere che prendi la matrice con tutti $1/2$ sulla diagonale e nulla altrimenti, ovvero la matrice $1/2*Id$ e poi esegui il prodotto (come prodotto di matrici) con $K$. Prova a verificare che il risultato è lo stesso ed usalo per convincerti che vale la formula:
$det(aK)=a^ndet(K)$
che ti ho citato prima.
Ti faccio notare il caso patologico iniziale. Se ti dico che $K$ e' un matrice $nxn$, allora cosa è $1/2*K$ ? Puoi intedere che motiplichi ogni elemento di $K$ per $1/2$ ed in tal caso staresti considerando $1/2$ come numero, oppure puoi intendere che prendi la matrice con tutti $1/2$ sulla diagonale e nulla altrimenti, ovvero la matrice $1/2*Id$ e poi esegui il prodotto (come prodotto di matrici) con $K$. Prova a verificare che il risultato è lo stesso ed usalo per convincerti che vale la formula:
$det(aK)=a^ndet(K)$
che ti ho citato prima.
ah poi tieni conto che le espressioni $|K|$ e $det(K)$ sono equivalenti.
ti faccio poi un'altra domanda:
nella formula $det(aK)=a^n det(K)$ se ti avessi detto che $K$ e' una matrice $nxn$, cosa ti saresti aspettata che fosse $a$? poteva essere una matrice?
nella formula $det(aK)=a^n det(K)$ se ti avessi detto che $K$ e' una matrice $nxn$, cosa ti saresti aspettata che fosse $a$? poteva essere una matrice?
però mi sorge un dubbio....il testo mi dice che ho solo tre matrici di ordine 3: A,B,C.non mi parla di altre matrici, quindi quel $|1/2|$ è sempre una matrice?
"Thomas":
Si diciamo che se calcoli il determinante di $1/2$ allora molto probabilmente si tratta di una matrice nxn, anche se non è detto, potresti stare calcolando il determinante di una matrice 1x1 che è semplicemente il numero stesso. Dipende insomma dalla dimensione della matrice e quella te la deve dire qualcos'altro!
Ti faccio notare il caso patologico iniziale. Se ti dico che $K$ e' un matrice $nxn$, allora cosa è $1/2*K$ ? Puoi intedere che motiplichi ogni elemento di $K$ per $1/2$ ed in tal caso staresti considerando $1/2$ come numero, oppure puoi intendere che prendi la matrice con tutti $1/2$ sulla diagonale e nulla altrimenti, ovvero la matrice $1/2*Id$ e poi esegui il prodotto (come prodotto di matrici) con $K$. Prova a verificare che il risultato è lo stesso ed usalo per convincerti che vale la formula:
$det(aK)=a^ndet(K)$
che ti ho citato prima.
quello che dici tu potrebbe essere un prodotto scalare con $lambdaA$ ma non penso che sia questo il caso
le feste sono finite....però ancora il mio dubbio persiste!!! Qualcuno mi può aiutare?
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