Calcolo delle derivate dei versori su una superficie sferica

[stefano.manzoni.5621]

Ciao ragazzi, sto studiando in università un corso di introduzione alla gravitazione relativistica.
Ho intenzione di calcolare i simboli di Christoffel su una superficie sferica.
Sapendo che
$$ \partial_c e_a=\Gamma_{ca}^b e_b $$
la mia idea è di calcolare le derivate dei versori $e_{\theta}$ ed $e_{\phi}$ rispetto a $\theta$ e $\phi$.
I versori sono quindi:
$ { ( \mathbf{e_\{theta}}=\cos\theta \cos\phi \ \mathbf{e_x} + \cos\theta \sin\phi \ \mathbf{e_y} -\sin\theta\ \mathbf{e_z} ),( \mathbf{e_{\phi}}=-\sin\phi \ \mathbf{e_x} +\cos\phi \ \mathbf{e_y} ):} $
e se calcolo le derivate ($\partial_{\theta} e_{\theta}=\frac{\partial e_{\theta}}{\partial \theta}$ etc.):
${ (\partial_{\theta}\mathbf{e_{\theta}}=-\sin\theta\cos\phi\ \mathbf{e_x}-\sin\theta\sin\phi\ \mathbf{e_y}-\cos\theta\ \mathbf{e_z}),
(\partial_{\phi}\mathbf{e_{\theta}}=-\cos\theta\sin\phi\ \mathbf{e_x}-\cos\theta\cos\phi\ \mathbf{e_y}),
(\partial_{\theta}\mathbf{e_{\phi}}=0),
(\partial_{\phi}\mathbf{e_{\phi}}=-\cos\phi\ \mathbf{e_x}-\sin\phi\ \mathbf{e_y}):}$
Ora mi sono bloccato perché sto cercando di scrivere queste derivate dei versori come combinazione degli altri due in modo da ottenere qualcosa del tipo: $\partial_{\theta} \mathbf{e_{\theta}}=\alpha\ \mathbf{e_{\theta}}+\beta\ \mathbf{e_{\phi}}$ per poi poter arrivare a $\Gamma_{\theta\theta}^{\theta}=\alpha$ e $\Gamma_{\theta\theta}^{\phi}=\beta$
Come posso continuare? Sbaglio qualcosa? Ovviamente non sto considerando il terzo versore $\mathbf{e_r}$ poiché l'elemento di linea $\text{d}s^2=R_{\text{sfera}}^2(\text{d}\theta^2+\sin^2\theta\text{d}\phi^2)$
Grazie mille

[apatriarca]

Hai una base ortonormale data dai versori della tua base sulla sfera e una base ortonormale in \(\mathbb R^3\). Devi quindi semplicemente trovare la trasformazione tra queste due basi ortonormali e invertirla..