Calcolo del polinomio caratteristico
Dato che sul mio libro è spiegato in una maniera contorta, come è possibile, in parole semplici, calcolare il polinomio caratteristico di una martice?
Risposte
Data una generica matrice $ M in ccM_n (RR)$, saprai certamente calcolare $det(M)$.
Ora, tu hai la matrice $A$ e vuoi calcolarne il polinomio caratteristico.
Il primo passo è scrivere $A-lambdaI$, dove $lambda$ è un parametro e $I$ è la matrice identica.
Poi calcoli $det(A-lambdaI)$. Il risultato è il polinomio caratteristico
Ora, tu hai la matrice $A$ e vuoi calcolarne il polinomio caratteristico.
Il primo passo è scrivere $A-lambdaI$, dove $lambda$ è un parametro e $I$ è la matrice identica.
Poi calcoli $det(A-lambdaI)$. Il risultato è il polinomio caratteristico
Ciao. Provo a spiegartelo io, ma non credo che possa essere molto più chiaro del libro (non vedo cosa ci sia di contorto)...
Data una matrice $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (quadrata, di ordine $n$ e a valori reali), il polinomio caratteristico di $A$ è definito come
\[P_A(\lambda)=\text{det}(A-\lambda I_n)\]
Fine
Chiariamo un paio di cosette. $I_n$ è la matrice identica di ordine $n$, che detto terra terra ha tutti $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove.
La quantità $\lambda\cdot I_n$ è ancora una matrice (essendo $\lambda\in RR$): questa nuova matrice ha tutti $\lambda$ sulla diagonale principale e $0$ altrove; ti faccio notare che $\lambda$ altro non è che la variabile che comparirà nel polinomio: la puoi chiamare $x,y,\eta$...fa lo stesso!
La quantità $A-\lambda\cdot I_n$ è ancora una volta una matrice (vedi la definizione di somma tra matrici per capire come sono gli elementi).
Infine, il polinomio $P_A(\lambda)$ è il determinante di quest'ultima matrice.
Dimmi se non sono stato chiaro in qualche punto
Ciao
Giuseppe
EDIT: scusa Gi8, ti ho doppiato
Data una matrice $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (quadrata, di ordine $n$ e a valori reali), il polinomio caratteristico di $A$ è definito come
\[P_A(\lambda)=\text{det}(A-\lambda I_n)\]
Fine
Chiariamo un paio di cosette. $I_n$ è la matrice identica di ordine $n$, che detto terra terra ha tutti $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove.
La quantità $\lambda\cdot I_n$ è ancora una matrice (essendo $\lambda\in RR$): questa nuova matrice ha tutti $\lambda$ sulla diagonale principale e $0$ altrove; ti faccio notare che $\lambda$ altro non è che la variabile che comparirà nel polinomio: la puoi chiamare $x,y,\eta$...fa lo stesso!
La quantità $A-\lambda\cdot I_n$ è ancora una volta una matrice (vedi la definizione di somma tra matrici per capire come sono gli elementi).
Infine, il polinomio $P_A(\lambda)$ è il determinante di quest'ultima matrice.
Dimmi se non sono stato chiaro in qualche punto
Ciao
Giuseppe
EDIT: scusa Gi8, ti ho doppiato
Ok e fino a qui è tutto ok, anche dal libro, è quando arriva all'esempio che ho avuto qualche problema, ve lo riporto.
f(x,y)=(2x,y); Trovare gli autovalori di f
ovviamente gli autovalori di f sono le radici del polinomio caratterisitco, ma non riesco a capire come arrivi alla matrice:
2 0
A=
0 1
f(x,y)=(2x,y); Trovare gli autovalori di f
ovviamente gli autovalori di f sono le radici del polinomio caratterisitco, ma non riesco a capire come arrivi alla matrice:
2 0
A=
0 1
Quella è la matrice associata all'applicazione lineare $f$. Sai che ogni applicazione lineare può essere rappresentata da una matrice e viceversa, no? Quindi dire "trovare gli autovalori di $f$" e dire "trovare gli autovalori di $A$, matrice associata all'applicazione $f$" è la stessa cosa
Grazie per la disponibilià.
Ma cosa succede se cambio base per lo spazio vettoriale sul quale è definito l'endomorfismo? teoricamente il determinante dovrebbe rimanere lo stesso penso, quindi una volta calcolato il polinomio caratterisitco di un endomorfismo, rimane tale qualunque sia la base, o sbaglio?
Ma cosa succede se cambio base per lo spazio vettoriale sul quale è definito l'endomorfismo? teoricamente il determinante dovrebbe rimanere lo stesso penso, quindi una volta calcolato il polinomio caratterisitco di un endomorfismo, rimane tale qualunque sia la base, o sbaglio?
Dimostrare che il polinomio caratteristico è invariante per cambio di base è abbastanza semplice. Ti do la dimostrazione anche se sicuramente la puoi trovare sul libro!
Allora tu sai che se la matrice di un'applicazione \(f\) è \(A\), avendo una base \( B_1 \) su dominio e codominio, allora la matrice di \(f\) in base \( B_2 \) è della forma \(B=C^{-1}AC \) dove \( C \) è la matrice invertibile del cambio di base. Chiamo \(p_A \) il polinomio caratteristico nella prima base e \(p_B \) quello nella seconda.
Ora si ha : \[p_B=det(B-\lambda I)= det(C^{-1}AC -\lambda I)= det(C^{-1}AC- \lambda C^{-1}C)=det(C^{-1}AC-C^{-1}\lambda IC)= \] \[det(C^{-1}(A-\lambda I)C)= det(C^{-1})det(C)p_A= p_A \].
Quindi effettivamente il polinomio caratteristico non varia :].
Allora tu sai che se la matrice di un'applicazione \(f\) è \(A\), avendo una base \( B_1 \) su dominio e codominio, allora la matrice di \(f\) in base \( B_2 \) è della forma \(B=C^{-1}AC \) dove \( C \) è la matrice invertibile del cambio di base. Chiamo \(p_A \) il polinomio caratteristico nella prima base e \(p_B \) quello nella seconda.
Ora si ha : \[p_B=det(B-\lambda I)= det(C^{-1}AC -\lambda I)= det(C^{-1}AC- \lambda C^{-1}C)=det(C^{-1}AC-C^{-1}\lambda IC)= \] \[det(C^{-1}(A-\lambda I)C)= det(C^{-1})det(C)p_A= p_A \].
Quindi effettivamente il polinomio caratteristico non varia :].
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