Calcolo degli autovettori
salve a tutti
ho bisogno di una dritta per completare il seguente esercizio:
mi viene assegnata una matrice:
$ A=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $
l'esercizio richiede di verificare se i vettori (6,11,8) , (0,0,0), (6,0,3) sono autovettori della matrice.
io ho calcolato prima di tutto gli autovalori:
ottengo $ -lambda^3+8lambda+3 $
scompongo il polinomio ed ottengo:
$ -lambda^2-3lambda-1 $
cambio di segno:
$ lambda^2+3lambda+1 $
a questo punto calcolando$ lambda$ ottengo:
$ lambda=(-3+-sqrt(5))/2$
ottengo:
$ lambda=(-3+sqrt(5))/2$
$ lambda=(-3-sqrt(5))/2$
a questo punto calcolo gli autovettori per $ lambda=(-3+sqrt(5))/2$
ottengo la seguente matrice:
$ ( ( -2-(-3+sqrt(5))/2 , 2 , 1 ),( 1 , 1-(-3+sqrt(5))/2 , 2 ),( -1 , 2 , 1-(-3+sqrt(5))/2 ) ) $
impongo il sistema:
$ { ( -2x+(-3+sqrt(5)/2 )y+z=0),(1+((-3+sqrt(5))/2 )+2z =0,( -x+2((-3+sqrt(5))/2 )+1=0 ):} $
il mio problema è che non so risolvere questo sistema, non so come muovermi con la presenza della radice.
grazie a tutti!
ho bisogno di una dritta per completare il seguente esercizio:
mi viene assegnata una matrice:
$ A=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) $
l'esercizio richiede di verificare se i vettori (6,11,8) , (0,0,0), (6,0,3) sono autovettori della matrice.
io ho calcolato prima di tutto gli autovalori:
ottengo $ -lambda^3+8lambda+3 $
scompongo il polinomio ed ottengo:
$ -lambda^2-3lambda-1 $
cambio di segno:
$ lambda^2+3lambda+1 $
a questo punto calcolando$ lambda$ ottengo:
$ lambda=(-3+-sqrt(5))/2$
ottengo:
$ lambda=(-3+sqrt(5))/2$
$ lambda=(-3-sqrt(5))/2$
a questo punto calcolo gli autovettori per $ lambda=(-3+sqrt(5))/2$
ottengo la seguente matrice:
$ ( ( -2-(-3+sqrt(5))/2 , 2 , 1 ),( 1 , 1-(-3+sqrt(5))/2 , 2 ),( -1 , 2 , 1-(-3+sqrt(5))/2 ) ) $
impongo il sistema:
$ { ( -2x+(-3+sqrt(5)/2 )y+z=0),(1+((-3+sqrt(5))/2 )+2z =0,( -x+2((-3+sqrt(5))/2 )+1=0 ):} $
il mio problema è che non so risolvere questo sistema, non so come muovermi con la presenza della radice.
grazie a tutti!
Risposte
Per definizione, $vnebar0$ è autovettore per $f$ se
$f(v)=lambdav, qquad lambda in RR$
ciao, Magma
questa definizione devo applicarla al sistema che ho impostato?
come mi muovo operativamente?
Grazie!
questa definizione devo applicarla al sistema che ho impostato?
come mi muovo operativamente?
Grazie!
La matrice $A$ è rappresentativa dell'applicazione lineare, per cui $f=L_A$:
Per verificare che determinati vettori siano autovettori, è sufficiente calcolarne l'immagine e verificare che essa sia un multiplo del medesimo vettore; ovviamente il vettore nullo non può essere definibile autovettore.
$L_A: qquad RR^3->RR^3$
$L_A(v):=Av=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) ((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$
$L_A(v):=Av=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) ((x),(y),(z)), qquad AA v in RR^3$
Per verificare che determinati vettori siano autovettori, è sufficiente calcolarne l'immagine e verificare che essa sia un multiplo del medesimo vettore; ovviamente il vettore nullo non può essere definibile autovettore.
ciao, Magma
allora, per calcolare l'immagine vado a considerare la matrice; calcolo il rango ed ottengo che è uguale a 3, quindi concludo che la dimensione dell'immagine di f è 3.
poi se ho ben capito vado a considerare la matrice 3x4 (aggiungo all'interno della matrice l'autovettore (6,11,8)
$ ( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1, 2 , 1 ),( 6 , 11 , 8 ) ) $
calcolo il rango riducendo la matrice a scala ed ottengo che è uguale a 3, quindi posso concludere che l'autovettore (6,11,8) appartiene alla matrice.
va bene il procedimento?
Grazie?
allora, per calcolare l'immagine vado a considerare la matrice; calcolo il rango ed ottengo che è uguale a 3, quindi concludo che la dimensione dell'immagine di f è 3.
poi se ho ben capito vado a considerare la matrice 3x4 (aggiungo all'interno della matrice l'autovettore (6,11,8)
$ ( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1, 2 , 1 ),( 6 , 11 , 8 ) ) $
calcolo il rango riducendo la matrice a scala ed ottengo che è uguale a 3, quindi posso concludere che l'autovettore (6,11,8) appartiene alla matrice.
va bene il procedimento?
Grazie?
Ti avevo suggerito di applicare banalmente la definizione di autovettore:
$L_A(((6),(11),(8)))=( ( -2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ),( -1 , 2 , 1 ) ) ((6),(11),(8))=((18),(33),(24))=3((6),(11),(8))$
Quindi $((6),(11),(8))$ è un autovettore.
Perché ti sei complicato la vita in quel modo?
ciao,Magma
tutto chiaro mi sono complicato la vita inutilmente.
GRAZIE!
tutto chiaro mi sono complicato la vita inutilmente.
GRAZIE!
$((0),(0),(0))$ è un autovettore? 
No!
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