Calcolo degli autovalori
Salve a tutti,
devo calcolare gli autovalori del polinomio caratteristico, la matrice che ho é:
$(((3/4 -x),-1/4,-1/4,-1/4), (-1/4, (3/4-x),-1/4,-1/4), (-1/4,-1/4,(3/4-x),-1/4), (-1/4,-1/4,-1/4, (3/4-x)))$
è una matrice simmetrica, non solo la parte sopra la diagonale è uguale a quella sotto, potrei applicare qualche proprietà?
Se no come calcolereste il determinante usando Laplace o Gauss?
Al professore vengono gli autovalori $1$ con molteplicità $3$ e $0$ con molteplicità $1$, d'accordo su $1$, ma $0$?
devo calcolare gli autovalori del polinomio caratteristico, la matrice che ho é:
$(((3/4 -x),-1/4,-1/4,-1/4), (-1/4, (3/4-x),-1/4,-1/4), (-1/4,-1/4,(3/4-x),-1/4), (-1/4,-1/4,-1/4, (3/4-x)))$
è una matrice simmetrica, non solo la parte sopra la diagonale è uguale a quella sotto, potrei applicare qualche proprietà?
Se no come calcolereste il determinante usando Laplace o Gauss?
Al professore vengono gli autovalori $1$ con molteplicità $3$ e $0$ con molteplicità $1$, d'accordo su $1$, ma $0$?
Risposte
@emanuele78,
mmm curioso, mi ricordo di aver letto qualcosa in merito ma nn ricordo dove.. cmq la tua matrice è il seguente caso:
http://tinyurl.com/nkk2n9b
Saluti
"emanuele78":
Salve a tutti,
devo calcolare gli autovalori del polinomio caratteristico, la matrice che ho é:
$(((3/4 -x),-1/4,-1/4,-1/4), (-1/4, (3/4-x),-1/4,-1/4), (-1/4,-1/4,(3/4-x),-1/4), (-1/4,-1/4,-1/4, (3/4-x)))$
è una matrice simmetrica, non solo la parte sopra la diagonale è uguale a quella sotto, potrei applicare qualche proprietà?
Se no come calcolereste il determinante usando Laplace o Gauss?
Al professore vengono gli autovalori $1$ con molteplicità $3$ e $0$ con molteplicità $1$, d'accordo su $1$, ma $0$?
mmm curioso, mi ricordo di aver letto qualcosa in merito ma nn ricordo dove.. cmq la tua matrice è il seguente caso:
http://tinyurl.com/nkk2n9b
Saluti
Grazie della risposta. Il professore affronta l'argomento in modo veramente elegante.
Lo scrivo affinchè possa essere utile a qualcuno.
Innanzitutto l'endomorfismo $p$ è definito come $p : R^4 => R^4 | p(x) = x - (x*n)n$ dove $x in R^4$ e $n$ è un versore ortonormale al sotto spazio vettoriale di $R^4$ definito come $V ={(x,y,z,t) | x+y+z+t =0}$. Sia per esempio $n = (1/2,1/2,1/2,1/2)$ il versore ortonormale a $V$. Per calcolare la matrice generale delle proiezioni ortogonali dei vettori di $R^4$ su $V$ si procede come segue:
$p(x) = x- (x*n)n = x- n(n^t*x) = x- (n*n^t)x => M(p) = I - n*n^t$ che praticamente è quella di sopra senza procedere con il calcolo del polinomio caratteristico.
Inoltre si osserva che $p(v) = v$ con $v in V$ cosa ovvia, quindi l'autovalore relativo è $x =1$, per calcolarne la moltiplicità basta osservare che $\rho(M(p)) =3$, pertanto si ha che $M(p) - I$ ha rango $1$. Inoltre potevavamo osservare la moltiplicità essendo che l'autospazio relativo a $1$, cioè $V_1 = V$ e $dim V = 3$.
Per trovare l'altro autovalore basta osservare che $p(n) = 0$ $=>$ $V_0 = Ker(p) = L(n)$.
Posso dire che $Ker(p)$ è uguale al complemento ortogonale di $V$?
Grazie ancora Emanuele
Lo scrivo affinchè possa essere utile a qualcuno.
Innanzitutto l'endomorfismo $p$ è definito come $p : R^4 => R^4 | p(x) = x - (x*n)n$ dove $x in R^4$ e $n$ è un versore ortonormale al sotto spazio vettoriale di $R^4$ definito come $V ={(x,y,z,t) | x+y+z+t =0}$. Sia per esempio $n = (1/2,1/2,1/2,1/2)$ il versore ortonormale a $V$. Per calcolare la matrice generale delle proiezioni ortogonali dei vettori di $R^4$ su $V$ si procede come segue:
$p(x) = x- (x*n)n = x- n(n^t*x) = x- (n*n^t)x => M(p) = I - n*n^t$ che praticamente è quella di sopra senza procedere con il calcolo del polinomio caratteristico.
Inoltre si osserva che $p(v) = v$ con $v in V$ cosa ovvia, quindi l'autovalore relativo è $x =1$, per calcolarne la moltiplicità basta osservare che $\rho(M(p)) =3$, pertanto si ha che $M(p) - I$ ha rango $1$. Inoltre potevavamo osservare la moltiplicità essendo che l'autospazio relativo a $1$, cioè $V_1 = V$ e $dim V = 3$.
Per trovare l'altro autovalore basta osservare che $p(n) = 0$ $=>$ $V_0 = Ker(p) = L(n)$.
Posso dire che $Ker(p)$ è uguale al complemento ortogonale di $V$?
Grazie ancora Emanuele
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