Calcolo controimmagine
Per prima cosa un saluto a tutti!
Apro questo topic perchè sto preparando l'esame di Geometria ed Algebra e ho un piccolo problemino: non riesco a calcolare la controimmagine di una applicazione lineare. Spero quindi che possiate aiutarmi.
L'esercizio in questione è questo:
Ora il punto primo l'ho fatto (ho trovato le dimensioni di ker(f) e im(f) c'è altro?
) il problema più che altro è il punto 2, non so proprio dove mettere mano, potete darmi qualche dritta?
Grazie mille
Apro questo topic perchè sto preparando l'esame di Geometria ed Algebra e ho un piccolo problemino: non riesco a calcolare la controimmagine di una applicazione lineare. Spero quindi che possiate aiutarmi.
L'esercizio in questione è questo:
Ora il punto primo l'ho fatto (ho trovato le dimensioni di ker(f) e im(f) c'è altro?
) il problema più che altro è il punto 2, non so proprio dove mettere mano, potete darmi qualche dritta?Grazie mille
Risposte
Per il secondo punto ti basta scrivere $e_2$ (e poi $5e_2+3e_3$) come combinazione lineare di $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ e tenere conto che, dato che $f$ è un endomorfismo di spazi vettoriale, allora è lineare cioè $f(\alphax+\betay)=\alphaf(x)+\betaf(y)$ con $\alpha,\beta\in RR$
"misanino":
Per il secondo punto ti basta scrivere $e_2$ (e poi $5e_2+3e_3$) come combinazione lineare di $f(e_1),f(e_2),f(e_3)$ e tenere conto che, dato che $f$ è un endomorfismo di spazi vettoriale, allora è lineare cioè $f(\alphax+\betay)=\alphaf(x)+\betaf(y)$ con $\alpha,\beta\in RR$
Per cui se ho ben capito la controimmagine di $e_2$ sarebbe $frac{f(e_2)-f(e_1)}{5}$?
"KoRk":
Per cui se ho ben capito la controimmagine di $e_2$ sarebbe $frac{f(e_2)-f(e_1)}{5}$?
Non proprio.
Hai che $e_2=frac{f(e_2)-f(e_1)}{5}$
e quindi
$e_2=frac{f(e_2)-f(e_1)}{5}=f((e_2-e_1)/5)$
e perciò la controimmagine di $e_2$ è $(e_2-e_1)/5$
Capito?
Gentilissimo, grazie 
Visto che ci siamo vi propongo un altro esercizio giusto per vedere se ho capito bene:
Questo è quello che ho trovato:
[list=1]
[*:2ut28tnv]f è isomorfismo per $t = -1$[/*:m:2ut28tnv]
[*:2ut28tnv]$(e_3-e_2-e_1)/(t-1)$ (per $t \ne 1$) è controimmagine di $e_1$ e $e_1+2e_2$ di $e_1+e_2+e_3$[/*:m:2ut28tnv]
[*:2ut28tnv]gli autovalori sono $x = 1$. Se $t = 0$ allora $x = -1$? Poi, se $t = 0$ f non è diagonalizzabile?[/*:m:2ut28tnv][/list:o:2ut28tnv]
Non sono per niente convinto
Questo è quello che ho trovato:
[list=1]
[*:2ut28tnv]f è isomorfismo per $t = -1$[/*:m:2ut28tnv]
[*:2ut28tnv]$(e_3-e_2-e_1)/(t-1)$ (per $t \ne 1$) è controimmagine di $e_1$ e $e_1+2e_2$ di $e_1+e_2+e_3$[/*:m:2ut28tnv]
[*:2ut28tnv]gli autovalori sono $x = 1$. Se $t = 0$ allora $x = -1$? Poi, se $t = 0$ f non è diagonalizzabile?[/*:m:2ut28tnv][/list:o:2ut28tnv]
Non sono per niente convinto
ti rispondo al primo quesito... prova a sostituire a $t$ $3$ o $2$... e vedi se è il nucleo è banale...
a me pare di sì!
Questo per dire che il tuo è iso per i valori di $t$ diversi da $1$
a me pare di sì!
Questo per dire che il tuo è iso per i valori di $t$ diversi da $1$
Direi che hai sbagliato qualcosa...
Prima di tutto tu affermi in risposta al punto 1 che f è isomorfismo solo se $t=-1$ e poi nel secondo punto dici che $f$ non è isomorfismo solo se $t=1$.
E in tutti gli altri t allora cosa succede?
Hai sbagliato a trascrivere la tua soluzione o sei convinto di ciò che hai scritto?
Fammi sapere così se hai sbagliato ti aiuto ad arrivare al risultato che ho calcolato
Prima di tutto tu affermi in risposta al punto 1 che f è isomorfismo solo se $t=-1$ e poi nel secondo punto dici che $f$ non è isomorfismo solo se $t=1$.
E in tutti gli altri t allora cosa succede?
Hai sbagliato a trascrivere la tua soluzione o sei convinto di ciò che hai scritto?
Fammi sapere così se hai sbagliato ti aiuto ad arrivare al risultato che ho calcolato
Allora f dovrebbe essere isomorfismo per quei valori di t che rendono $ker f = 0$ giusto?
Quindi come ha detto mistake è isomorfismo per $t \ne 1$ (in quanto $ker f$ sarebbe 1 se t fosse = 0)
Ci sono?
Quindi come ha detto mistake è isomorfismo per $t \ne 1$ (in quanto $ker f$ sarebbe 1 se t fosse = 0)
Ci sono?
"KoRk":
Allora f dovrebbe essere isomorfismo per quei valori di t che rendono $ker f = 0$ giusto?
Quindi come ha detto mistake è isomorfismo per $t \ne 1$ (in quanto $ker f$ sarebbe 1 se t fosse = 0)
Ci sono?
Il risultato $t\!=1$ è giusto.
Però attenzione che in realtà bisogna controllare anche un'altra cosa.
Infatti $f$ è isomorfismo se è iniettivo e suriettivo,
cioè se $Ker(f)=0$ e se ogni elemento di $V$ ha una controimmagine (o equivalentemente l'insieme delle immagini di $f$ contiene una base di $V$ cioè ad esempio contiene $e_1,e_2,e_3$).
Ripeto il risultato è lo stesso, ma bisogna controllare entrambe le cose
"misanino":
[quote="KoRk"]Allora f dovrebbe essere isomorfismo per quei valori di t che rendono $ker f = 0$ giusto?
Quindi come ha detto mistake è isomorfismo per $t \ne 1$ (in quanto $ker f$ sarebbe 1 se t fosse = 0)
Ci sono?
Il risultato $t\!=1$ è giusto.
Però attenzione che in realtà bisogna controllare anche un'altra cosa.
Infatti $f$ è isomorfismo se è iniettivo e suriettivo,
cioè se $Ker(f)=0$ e se ogni elemento di $V$ ha una controimmagine (o equivalentemente l'insieme delle immagini di $f$ contiene una base di $V$ cioè ad esempio contiene $e_1,e_2,e_3$).
Ripeto il risultato è lo stesso, ma bisogna controllare entrambe le cose[/quote]
Si, ho dimenticato di scriverlo.
Per quanto riguarda i punti 2 e 3?
anzitutto $kerf=1$ non vuol dire granché... Non lo faccio per pignoleria!
C'è una caratterizzazione degli isomorfismi che afferma che $f$ è iso se e solo se $f$ è mono (occhio però che questo vale se i due spazi hanno la stessa dimensione!). Ed inoltre $f$ è mono se e solo se il suo nucleo è banale.
Quindi puoi calcolare quello che vuoi sapere sfruttando questa caratterizzazione. Ma potresti farlo in altri modi... per esempio verificando che è un epimorfismo...
Ora come verifiche che il $ker$ è banale. Scrivi un generico vettore in $RR^3$ ed imponi che l'immagine sia $0$
Per comodità userò i tuoi vettori come la base canonica, tanto per fissare le idee.
$f(x,y,z)=(x+tz,x+z,y-z)$ imponendo questo uguale a $0$ ottieni un sistema. facendo vari calcoli arrivi al punto $(1-t)z=0$
Ora qui pensa un pò a cosa devi dimostrare. Il nucleo è banale se vi appartiene il vettore nullo solamente, quindi anche $z$ deve essere uguale a $0$. Se tu però annullassi $1-t$ allora $z$ potrebbe variare, contraddicendo il fatto che il nucleo deve essere banale. Quindi l'unica possibilità che abbiamo è che $t$ sia diverso da $1$
spero di essere stato chiaro!
C'è una caratterizzazione degli isomorfismi che afferma che $f$ è iso se e solo se $f$ è mono (occhio però che questo vale se i due spazi hanno la stessa dimensione!). Ed inoltre $f$ è mono se e solo se il suo nucleo è banale.
Quindi puoi calcolare quello che vuoi sapere sfruttando questa caratterizzazione. Ma potresti farlo in altri modi... per esempio verificando che è un epimorfismo...
Ora come verifiche che il $ker$ è banale. Scrivi un generico vettore in $RR^3$ ed imponi che l'immagine sia $0$
Per comodità userò i tuoi vettori come la base canonica, tanto per fissare le idee.
$f(x,y,z)=(x+tz,x+z,y-z)$ imponendo questo uguale a $0$ ottieni un sistema. facendo vari calcoli arrivi al punto $(1-t)z=0$
Ora qui pensa un pò a cosa devi dimostrare. Il nucleo è banale se vi appartiene il vettore nullo solamente, quindi anche $z$ deve essere uguale a $0$. Se tu però annullassi $1-t$ allora $z$ potrebbe variare, contraddicendo il fatto che il nucleo deve essere banale. Quindi l'unica possibilità che abbiamo è che $t$ sia diverso da $1$
spero di essere stato chiaro!
scusa per la sovrapposizione
"mistake89":
C'è una caratterizzazione degli isomorfismi che afferma che $f$ è iso se e solo se $f$ è mono (occhio però che questo vale se i due spazi hanno la stessa dimensione!)
Ottimo allora!
Grazie per la precisazione.
Tornando a te Kork.
Ma il punto 2 secondo te significa che devi trovare le controimmagini se $t!=1$ o le devi trovare per $t=1$ (ammesso che esistano)?
"mistake89":
anzitutto $kerf=1$ non vuol dire granché... Non lo faccio per pignoleria!
C'è una caratterizzazione degli isomorfismi che afferma che $f$ è iso se e solo se $f$ è mono (occhio però che questo vale se i due spazi hanno la stessa dimensione!). Ed inoltre $f$ è mono se e solo se il suo nucleo è banale.
Quindi puoi calcolare quello che vuoi sapere sfruttando questa caratterizzazione. Ma potresti farlo in altri modi... per esempio verificando che è un epimorfismo...
Ora come verifiche che il $ker$ è banale. Scrivi un generico vettore in $RR^3$ ed imponi che l'immagine sia $0$
Per comodità userò i tuoi vettori come la base canonica, tanto per fissare le idee.
$f(x,y,z)=(x+tz,x+z,y-z)$ imponendo questo uguale a $0$ ottieni un sistema. facendo vari calcoli arrivi al punto $(1-t)z=0$
Ora qui pensa un pò a cosa devi dimostrare. Il nucleo è banale se vi appartiene il vettore nullo solamente, quindi anche $z$ deve essere uguale a $0$. Se tu però annullassi $1-t$ allora $z$ potrebbe variare, contraddicendo il fatto che il nucleo deve essere banale. Quindi l'unica possibilità che abbiamo è che $t$ sia diverso da $1$
spero di essere stato chiaro!
Grazie della spiegazione
"misanino":
Tornando a te Kork.
Ma il punto 2 secondo te significa che devi trovare le controimmagini se $t!=1$ o le devi trovare per $t=1$ (ammesso che esistano)?
Mi sto rincretinendo
, c'è bisogno che trovi le controimmagini per $t=1$ però la controimmagine di $e_1$ in questo caso non mi sembra esista mentre per $e_1+e_2+e_3$ sarebbe $e_2+e_3$?
"KoRk":
c'è bisogno che trovi le controimmagini per $t=1$ però la controimmagine di $e_1$ in questo caso non mi sembra esista
Per $e_1$ hai ragione tu.
Per $e_1+e_2+e_3$ tu hai trovato una controimmagine.
Credo però che l'esercizio voglia che tu le trovi tutte (dato che per $t=1$ l'endomorfismo non è iniettivo e quindi ogni elemento può avere più di una controimmagine)
E quindi c'è anche $e_1 + 2e_2$ mi sono perso qualcos'altro?
"KoRk":
E quindi c'è anche $e_1 + 2e_2$ mi sono perso qualcos'altro?
Ti sei perso anche qualcos'altro.
(e in realtà ora che ho riletto il primo esercizio che hai postato, anche lì voleva tutte le controimmagini, mentre tu ne hai trovata solo una).
Per trovare tutte le controimmagini devi procedere così:
devi trovare la controimmagine di un vettore $v$ (in questo caso $e_1+e_2+e_3$)
Un qualsiasi elemento dello spazio di partenza $V$ si può scrivere come $ae_1+be_2+ce_3$
devi quindi imporre
$f(ae_1+be_2+ce_3)=v$
e risolvere il sistema in 3 equazioni e 3 incognite che ne consegue.
Te lo faccio in questo caso e se vuoi tu puoi completare il primo esercizio postato con tute le controimmagini.
Qua $v=e_1+e_2+e_3$
quindi devo imporre
$f(ae_1+be_2+ce_3)=e_1+e_2+e_3$
Ora come ti ho detto prima $f$ è lineare e quindi
$f(ae_1+be_2+ce_3)=af(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=a(e_1+e_2-e_3)+be_3+c(e_1+e_2)=ae_1+ae_2+ae_3+be_2+ce_1+ce_2=e_1(a+c)+e_2(a+c)+e_3(-a+b)$
e devo imporre quindi che sia uguale a $e_1+e_2+e_3$ cioè
$e_1(a+c)+e_2(a+c)+e_3(-a+b)=e_1+e_2+e_3$ da cui ricavo il sistema:
$\{(a+c=1),(a+c=1),(-a+b=1):}$
e posso togliere una delle prime 2 equazioni che sono uguali e ho:
$\{(a+c=1),(-a+b=1):}$
da cui ricavo:
$\{(c=1-a),(b=1+a):}$
e quindi ho che $a$ è qualsiasi, $b=1+a$, $c=1-a$
Perciò le controimmagini di $e_1+e_2+e_3$ sono:
$ae_1+(1+a)e_2+(1-a)e_3$
e noti che per $a=0$ ritrovi la controimmagine che hai trovato tu.
Sono stato chiaro?
Chiarissimo, non so come ringraziarti mi hai chiarito un grandissimo dubbio
Ho provato a risolvere il primo seguendo la tua spiegazione:
$f(ae_1+be_2+ce_3)=e_2$
$af(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=e_2$
$a(e_1+2e_3)+b(e_1+5e_2+2e_3)+c(e_1+4e_3)=e_2$
$e_1(a+b+2c)+e_2(5b)+e_3(2a+2b+4c)=e_2$
Quindi tutto a sistema
$\{(a+b+2c=0),(5b=1):}$
e ricavo
$\{(c=-1/5-a),(b=1/5):}$
e sostituendo
$frac{e_2 - e_1(a+1)}{5}$ ha funzionato?
mentre per $5e_2+3e_3$
$frac{3e_1}{2} - 5e_2$
$f(ae_1+be_2+ce_3)=e_2$
$af(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=e_2$
$a(e_1+2e_3)+b(e_1+5e_2+2e_3)+c(e_1+4e_3)=e_2$
$e_1(a+b+2c)+e_2(5b)+e_3(2a+2b+4c)=e_2$
Quindi tutto a sistema
$\{(a+b+2c=0),(5b=1):}$
e ricavo
$\{(c=-1/5-a),(b=1/5):}$
e sostituendo
$frac{e_2 - e_1(a+1)}{5}$ ha funzionato?
mentre per $5e_2+3e_3$
$frac{3e_1}{2} - 5e_2$
"KoRk":
Ho provato a risolvere il primo seguendo la tua spiegazione:
$f(ae_1+be_2+ce_3)=e_2$
$af(e_1)+bf(e_2)+cf(e_3)=e_2$
$a(e_1+2e_3)+b(e_1+5e_2+2e_3)+c(e_1+4e_3)=e_2$
$e_1(a+b+2c)+e_2(5b)+e_3(2a+2b+4c)=e_2$
Quindi tutto a sistema
$\{(a+b+2c=0),(5b=1):}$
Fino a qui tutto bene.
Ora ricavi $b=1/5$ come hai detto tu,
mentre $2c=-a-b$ e quindi $c=(-a-b)/2=-a/2-1/10$
Ora allora concludi che $a$ è qualsiasi, $b$ vale $1/5$ e $c=-a/2-1/10$
Perciò l'insieme delle controimmagini di $e_2$ è dato dagli elementi:
$ae_1-1/5e_2-(a/2+1/10)e_3$
Capito?
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