Calcolo cardinalità insiemi
Ciao, mi dareste una mano per risolvere questo esercizio??
Sia $A:={1,2,3,4,5}$ e sia $B:=AU{6,7,8,9,10}$. Si calcolino le cardinalità degli insiemi $X1$, $X2$, $X3$ definiti come segue:
$X1:={Cin2^B | CnnA=emptyset}$
$X2:={finB^B | f(B)nnA=emptyset}$
$X3:={finB^B | f(A)=B\\A}$
La cardinalità di $X1$ è quella dell'insieme delle parti di $B\\A$, ed è uguale a $|2^(B\\A)|=2^(10-5)=32$ ??
Poi sigh non so continuare, arrivo a comprendere che devo considerare tutte le funzioni da $B in B$ ma non so come procedere...
Graze mille.
Giampaolo
Sia $A:={1,2,3,4,5}$ e sia $B:=AU{6,7,8,9,10}$. Si calcolino le cardinalità degli insiemi $X1$, $X2$, $X3$ definiti come segue:
$X1:={Cin2^B | CnnA=emptyset}$
$X2:={finB^B | f(B)nnA=emptyset}$
$X3:={finB^B | f(A)=B\\A}$
La cardinalità di $X1$ è quella dell'insieme delle parti di $B\\A$, ed è uguale a $|2^(B\\A)|=2^(10-5)=32$ ??
Poi sigh non so continuare, arrivo a comprendere che devo considerare tutte le funzioni da $B in B$ ma non so come procedere...
Graze mille.
Giampaolo
Risposte
Per $2^(B)$ intendi l'insieme delle parti di B, vero?
Per $B^(B)$ invece cosa intendi?
Per $B^(B)$ invece cosa intendi?
Si, per $2^B$ intendo l'insieme delle parti di $B$, e per $B^B$ intendo le funzioni che vanno da $B$ in $B$.
Grazie, ciao
Grazie, ciao
Il primo è giusto.
Per il secondo devi trovare le funzioni definite su B che hanno immagine che non interseca A,
cioè le funzioni che hanno immagine in (6,7,8,9,10)
Per il secondo devi trovare le funzioni definite su B che hanno immagine che non interseca A,
cioè le funzioni che hanno immagine in (6,7,8,9,10)
sei arrivato?
il secondo è un insieme di funzioni da un 10-insieme a un 5-insieme (tutte le funzioni)
il terzo è l'insieme delle sole funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi.
il secondo è un insieme di funzioni da un 10-insieme a un 5-insieme (tutte le funzioni)
il terzo è l'insieme delle sole funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi.
Ciao, per calcolare la cardinalità di $X2$, considero tutte le funzioni da $10$ elementi (tutto $B$) in $5$ elementi che è uguale a:
$|A^B|=|A|^|B|=5^10$ ??
Per quanto riguarda $X3$, mi hai detto che sono le funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi, ma quali??
Non riesco a comprendere bene, ma azzardo una spiegazione.
Le funzioni che hanno come dominio $B\\A$ hanno come codominio $B$ e quelle che partono da $A$ hanno come codominio $B\\A$ ??
Quindi accade che nel codominio $B\\A$ gli elementi sono immagine di $f(B)$ e di $f(A)$??
$|A^B|=|A|^|B|=5^10$ ??
Per quanto riguarda $X3$, mi hai detto che sono le funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi, ma quali??
Non riesco a comprendere bene, ma azzardo una spiegazione.
Le funzioni che hanno come dominio $B\\A$ hanno come codominio $B$ e quelle che partono da $A$ hanno come codominio $B\\A$ ??
Quindi accade che nel codominio $B\\A$ gli elementi sono immagine di $f(B)$ e di $f(A)$??
"giampfrank":
Ciao, per calcolare la cardinalità di $X2$, considero tutte le funzioni da $10$ elementi (tutto $B$) in $5$ elementi che è uguale a:
$|A^B|=|A|^|B|=5^10$ ??
Per quanto riguarda $X3$, mi hai detto che sono le funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi, ma quali??
Non riesco a comprendere bene, ma azzardo una spiegazione.
Le funzioni che hanno come dominio $B\\A$ hanno come codominio $B$ e quelle che partono da $A$ hanno come codominio $B\\A$ ??
Quindi accade che nel codominio $B\\A$ gli elementi sono immagine di $f(B)$ e di $f(A)$??
Ciao, ho un dubbio...in $X3$:
il sottinsieme dell'immagine $B\\A$ riceve dal sottinsieme del dominio $A$ e anche da $B\\A$.
mentre il sottinsieme dell'immagine $A$ riceve dal dominio $B\\A$. E' corretto?
"giampfrank":
Ciao, ho un dubbio...in $X3$:
il sottinsieme dell'immagine $B\\A$ riceve dal sottinsieme del dominio $A$ e anche da $B\\A$.
mentre il sottinsieme dell'immagine $A$ riceve dal dominio $B\\A$. E' corretto?
Spiegati meglio.
Cosa vuoi dire?
"misanino":
[quote="giampfrank"]
Ciao, ho un dubbio...in $X3$:
il sottinsieme dell'immagine $B\\A$ riceve dal sottinsieme del dominio $A$ e anche da $B\\A$.
mentre il sottinsieme dell'immagine $A$ riceve dal dominio $B\\A$. E' corretto?
Spiegati meglio.
Cosa vuoi dire?[/quote]
Il dominio delle $finB^B$ è formato dai due sottoinsiemi: $A$ e $B\\A$.
Considero l'immagine delle $finB^B$ formata dai sottoinsiemi $f(A)$ e $f(B\\A)$.
X3 è l'insieme delle funzioni $finB^B$ il cui dominio è $A$ e la cui immagine è $B\\A$ ?? come devo ragionare per meglio comprendere X3 ?
Grazie 1000
"giampfrank":
X3 è l'insieme delle funzioni $finB^B$ il cui dominio è $A$ e la cui immagine è $B\\A$ ?? come devo ragionare per meglio comprendere X3 ?
Grazie 1000
No.
Il dominio è tutto B.
Però all'interno di questo dominio c'è il sottoinsieme A e tale sottoinsieme viene mandato in $B\\A$.
Dato che sono funzioni e che $|A|=|B\\A|$, allora le funzioni di $X_3$ mandano:
$A$ in $B\\A$
e $B\\A$ in $B$
Devi trovare tutte queste funzioni
"misanino":
[quote="giampfrank"]
X3 è l'insieme delle funzioni $finB^B$ il cui dominio è $A$ e la cui immagine è $B\\A$ ?? come devo ragionare per meglio comprendere X3 ?
Grazie 1000
No.
Il dominio è tutto B.
Però all'interno di questo dominio c'è il sottoinsieme A e tale sottoinsieme viene mandato in $B\\A$.
Dato che sono funzioni e che $|A|=|B\\A|$, allora le funzioni di $X_3$ mandano:
$A$ in $B\\A$
e $B\\A$ in $A$
Devi trovare tutte queste funzioni[/quote]
Ora mi trovo anche con ciò che ha detto adaBTTLS, che è "l'insieme delle sole funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi" $A$ e $B\\A$ con $B\\A$ ed $A$.
La cardinalità quindi è il doppio di tutte le possibili combinazioni tra gli elementi di un 5-insieme con un 5-insieme ??? Come faccio a calcolarla??
Grazie
Le funzioni devono essere suriettive da $A$ a $B\\A$, ma possono portare anche tutto $B\\A$ in un unico punto (sempre funzioni sono anche se non iniettive)
"misanino":
Le funzioni devono essere suriettive da $A$ a $B\\A$, ma possono portare anche tutto $B\\A$ in un unico punto (sempre funzioni sono anche se non iniettive)
Ma allora la cardinalità è uguale a quella dell'insieme delle sole funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi -> $|X^Y| + |Y^X| $
pongo $n=|X|$ e $m=|Y|$ che equivale a dire $n=5, m=5$
$2sum_{j=0}^(n-1) (-1)^j ((n),(j)) (n-j)^m$
che è uguale a:
$2sum_{j=0}^4 (-1)^j ((5),(j)) (5-j)^5$ è corretto?
ciao
Credo che tu stia facendo una gran confusione.
Prova a seguire questo mio ragionamento:
devi trovare le funzioni $f$ definite su $B$ tali che esse sono surietive da $A$ a $B\\A$.
Ma $|A|=|B\\A|$ e quindi se sono suriettive da $A$ a $B\\A$, sono anche iniettive e quindi sono biettive da $A$ a $B\\A$, cioè biezioni da un insieme di 5 elementi a un altro insieme di 5 elementi.
Invece su $B\\A$ queste funzioni possono assumere qualunque valore di $B$ e quindi sono funzioni qualsiasi (non biezioni per forza) da un insieme di 5 elementi a uno di 10 elementi.
Quindi hai una tua funzione di $X_3$ ogni volta che hai una coppia di funzioni di questo tipo.
Sei d'accordo?
Prova a seguire questo mio ragionamento:
devi trovare le funzioni $f$ definite su $B$ tali che esse sono surietive da $A$ a $B\\A$.
Ma $|A|=|B\\A|$ e quindi se sono suriettive da $A$ a $B\\A$, sono anche iniettive e quindi sono biettive da $A$ a $B\\A$, cioè biezioni da un insieme di 5 elementi a un altro insieme di 5 elementi.
Invece su $B\\A$ queste funzioni possono assumere qualunque valore di $B$ e quindi sono funzioni qualsiasi (non biezioni per forza) da un insieme di 5 elementi a uno di 10 elementi.
Quindi hai una tua funzione di $X_3$ ogni volta che hai una coppia di funzioni di questo tipo.
Sei d'accordo?
"misanino":
Credo che tu stia facendo una gran confusione.
Prova a seguire questo mio ragionamento:
devi trovare le funzioni $f$ definite su $B$ tali che esse sono surietive da $A$ a $B\\A$.
Ma $|A|=|B\\A|$ e quindi se sono suriettive da $A$ a $B\\A$, sono anche iniettive e quindi sono biettive da $A$ a $B\\A$, cioè biezioni da un insieme di 5 elementi a un altro insieme di 5 elementi.
Invece su $B\\A$ queste funzioni possono assumere qualunque valore di $B$ e quindi sono funzioni qualsiasi (non biezioni per forza) da un insieme di 5 elementi a uno di 10 elementi.
Quindi hai una tua funzione di $X_3$ ogni volta che hai una coppia di funzioni di questo tipo.
Sei d'accordo?
Ok, quindi sarebbe corretto dire che si parla di tutte le funzioni bigettive da $A$ in $B\\A$ in unione a tutte le funzioni da $B$ a $B\\A$ ($|B|^|B\\A|$)
e che il valore della loro cardinalità è ($5! + 10^5)$ ?
Ciao.
Hai calcolato bene le cardinalità distinte delle 2 funzioni, ma non le hai unite nel modo giusto.
Infatti per avere una funzione di $X_3$ devo prendere una funzione biettiva da $A$ a $B\\A$ (che come hai detto tu sono $5!$) e una qualunque funzione da $B\\A$ a $B$ (che come hai detto tu sono $10^5$).
Quindi per ogni funzione da $A$ a $B\\A$ trovo $10^5$ funzioni di $X_3$ ottenute considerando la mia funzione da $A$ a $B\\A$ e una qualunque delle funzioni
$B\\A$ a $B$.
Quindi non devi fare la somma delle cardinalità, bensì....
Infatti per avere una funzione di $X_3$ devo prendere una funzione biettiva da $A$ a $B\\A$ (che come hai detto tu sono $5!$) e una qualunque funzione da $B\\A$ a $B$ (che come hai detto tu sono $10^5$).
Quindi per ogni funzione da $A$ a $B\\A$ trovo $10^5$ funzioni di $X_3$ ottenute considerando la mia funzione da $A$ a $B\\A$ e una qualunque delle funzioni
$B\\A$ a $B$.
Quindi non devi fare la somma delle cardinalità, bensì....
"misanino":
Hai calcolato bene le cardinalità distinte delle 2 funzioni, ma non le hai unite nel modo giusto.
Infatti per avere una funzione di $X_3$ devo prendere una funzione biettiva da $A$ a $B\\A$ (che come hai detto tu sono $5!$) e una qualunque funzione da $B\\A$ a $B$ (che come hai detto tu sono $10^5$).
Quindi per ogni funzione da $A$ a $B\\A$ trovo $10^5$ funzioni di $X_3$ ottenute considerando la mia funzione da $A$ a $B\\A$ e una qualunque delle funzioni
$B\\A$ a $B$.
Quindi non devi fare la somma delle cardinalità, bensì....
Io direi moltiplicazione, però non ne sono sicuro. Ti spiego perchè. Non riesco proprio ad interpretare il significato X3.
Io leggerei "$X3$ è quell'insieme formato da tutte le funzioni che vanno da $B$ in $B$, tale che le funzioni che hanno come dominio $A$ hanno immagine $B\\A$ ".
Tu mi dici che per avere una funzione da X3 devo prendere una funzione biettiva da $A$ in $B\\A$ e una qualunque funzione da $B\\A$ in $B$. Ma perchè parli di due funzioni anzichè di una sola funzione?? Non capisco, ho uno zoccolo duro in testa...
Grazie.
Grazie a tutti credo di aver capito e risolto dopo aver rivisto i vostri commenti e rifatto $n$ volte l'esercizio!
Il risultato è $5!*10^5$. Equivale al prodotto cartesiano tra la cardinalità della bigezione tra $A$ e $B\\A$ e la cardinalità delle funzioni da $B\\A$ in $B$.
Giamp
Il risultato è $5!*10^5$. Equivale al prodotto cartesiano tra la cardinalità della bigezione tra $A$ e $B\\A$ e la cardinalità delle funzioni da $B\\A$ in $B$.
Giamp
"giampfrank":
Grazie a tutti credo di aver capito e risolto dopo aver rivisto i vostri commenti e rifatto $n$ volte l'esercizio!
Il risultato è $5!*10^5$. Equivale al prodotto cartesiano tra la cardinalità della bigezione tra $A$ e $B\\A$ e la cardinalità delle funzioni da $B\\A$ in $B$.
Giamp
Molto bene.
Vedo che te ne sei convinto.
Felice che tu abbia risolto il tutto.
Alla prossima
"giampfrank":
Ciao, per calcolare la cardinalità di $X2$, considero tutte le funzioni da $10$ elementi (tutto $B$) in $5$ elementi che è uguale a:
$|A^B|=|A|^|B|=5^10$ ??
Per quanto riguarda $X3$, mi hai detto che sono le funzioni suriettive tra gli stessi due insiemi, ma quali??
Non riesco a comprendere bene, ma azzardo una spiegazione.
Le funzioni che hanno come dominio $B\\A$ hanno come codominio $B$ e quelle che partono da $A$ hanno come codominio $B\\A$ ??
Quindi accade che nel codominio $B\\A$ gli elementi sono immagine di $f(B)$ e di $f(A)$??
per il terzo insieme intendevo le funzioni suriettive da $B$ (10 elementi) a $B\\A$ (5 elementi), perché mi pareva di aver capito che l'immagine dovesse essere appunto $B\\A$. ora quasi non ricordo più, ricontrollerò. fai altrettanto tu. ciao.
P.S.: ho ricontrollato il testo, e se ho pensato che fosse così ho sbagliato (neanche lo ricordo bene), ma ho visto che poi sono intervenuti altri e spero che tu abbia chiarito.
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