Calcolo Base per Nucleo Ed Immagine Trasformazione Lineare
Salve a tutti; spero in un vostro aiuto visto che io oramai son in alto mare; ho un problema con una tipologia di esercizi e avrei bisogno di veder un esempio per capire come svolgerlo.
L'esercizio in questione è questo:
Calcolare una base per il nucleo ed una per l'immagine della seguente trasformazione lineare
$R^3$ $rArr$ $R^3$ T(x,y,z) = (6x+4y , x-z , 4y+6z)
La soluzione dovrebbe essere:
Base Kern T = {(4,-6,4)}
Base Im T ={(6,1,0) (1,0,1)}
Grazie a tutti in anticipo
L'esercizio in questione è questo:
Calcolare una base per il nucleo ed una per l'immagine della seguente trasformazione lineare
$R^3$ $rArr$ $R^3$ T(x,y,z) = (6x+4y , x-z , 4y+6z)
La soluzione dovrebbe essere:
Base Kern T = {(4,-6,4)}
Base Im T ={(6,1,0) (1,0,1)}
Grazie a tutti in anticipo
Risposte
Ciao, prendiamo il generico vettore dello spazio: $$\begin{bmatrix}6x+4y\\x-z\\4y+6z\end{bmatrix} = x\begin{bmatrix}6\\1\\0\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}4\\0\\4\end{bmatrix}+z\begin{bmatrix}0\\-1\\6\end{bmatrix}$$ Possiamo quindi dire che quei tre vettori formano un sistema di generatori per lo spazio. Ora, sono una base? Nel senso: sono tutti indispensabili per descrivere lo spazio? In altri termini: sono linearmente indipendenti? Costruiamo la matrice $$M=\begin{bmatrix}6&4&0\\1&0&-1\\0&4&6\end{bmatrix}$$ e calcoliamo il suo rango: il risultato è $2$. Concludiamo che la dimensione dello spazio è pari a $2$ e una base è formata ad esempio dai primi due vettori. La soluzione che il tuo testo riporta è assolutamente equivalente: basta prendere il primo vettore e, come secondo, la somma tra il primo e il terzo, diviso per $6$. In ogni caso va benissimo anche un'altra base.
Per trovare il Kernel (o nucleo) dobbiamo risolvere il sistema $$Mv = 0$$ La matrice si può ridurre nella seguente forma: $$M' = \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&4&6\\0&0&0\end{bmatrix}$$ la cui soluzione è l'immagine del vettore $$v=\begin{bmatrix}2\\-3\\2\end{bmatrix}$$ cioè la soluzione riportata dal testo.
Per trovare il Kernel (o nucleo) dobbiamo risolvere il sistema $$Mv = 0$$ La matrice si può ridurre nella seguente forma: $$M' = \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&4&6\\0&0&0\end{bmatrix}$$ la cui soluzione è l'immagine del vettore $$v=\begin{bmatrix}2\\-3\\2\end{bmatrix}$$ cioè la soluzione riportata dal testo.
Ciao, prima di tutto grazie mille della accurata spiegazione; solo una cosa non ho capito però: la soluzione della matrice
M' = \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&4&6\\0&0&0\end{bmatrix}
come l'hai ricavata?
Grazie ancora!
M' = \begin{bmatrix}1&0&-1\\0&4&6\\0&0&0\end{bmatrix}
come l'hai ricavata?
Grazie ancora!
Ho risolto il sistema lineare omogeneo $$Mv=0$$ Il metodo che ho usato è la riduzione di Gauss (o a scalini o a forma triangolare).
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