Calcolo base ortonormale
Salve a tutti,
sto studiando questo esercizio assegnato ad un compito con lo svolgimento specificato dal mio prof ma ci sono cose che non riesco a capire, mi sembra sia leggermente criptico.
Il testo è il seguente:
In $\mathbb{R}^4$ con il prodotto euclideo standard sia $U$ generato dal vettore $(1,-1, 1,-1)$. Sia $f : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la proiezione ortogonale su U.
Determinare gli autospazi di $f$ e $g$ e le loro basi ortonormali.
La sua soluzione è questa:
Di questa parte ho solo capito che gli autovalori in un caso sono $1$ e $-1$ ma non ho ben chiaro tutto il discorso e questi valori sono sempre uguali nel caso delle riflessioni e proiezioni ortogonali.
La parte più oscura arriva dopo.
Sulla base di $U$ non ho problemi, è chiaro.
Il dubbio che ho è sulla base del complementare ortogonale perchè io ho trovato la sua base ed è $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)}$.
Calcolo la base ortogonale con il metodo di Gram Schmidt e ottengo $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1/2,1/2,1,0),(1/3,-1/3,1/3,1)}$ e dividendo per la norma pari a $\sqrt2$ non ottengo quella indicata dal prof.
Dove sbaglio?
Grazie per il vostro prezioso aiuto.
sto studiando questo esercizio assegnato ad un compito con lo svolgimento specificato dal mio prof ma ci sono cose che non riesco a capire, mi sembra sia leggermente criptico.
Il testo è il seguente:
In $\mathbb{R}^4$ con il prodotto euclideo standard sia $U$ generato dal vettore $(1,-1, 1,-1)$. Sia $f : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la proiezione ortogonale su U.
Determinare gli autospazi di $f$ e $g$ e le loro basi ortonormali.
La sua soluzione è questa:
Per $f$ abbiamo $U sube (\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot) sube (\mathbb(R)^4)_(-1)$.
Essendo $(\mathbb(R)^4)_1 nn (\mathbb(R)^4)_(-1) =0$ (il vettore nullo) ed essendo $\mathbb(R)^4= U + U^(\bot)$ (somma diretta), deduciamo $U=(\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot)=(\mathbb(R)^4)_(-1)$.
Analogamente si prova facilmente che per $g$ abbiamo $U^(\bot)=ker(g)= (\mathbb(R)^4)_0$ e $U=(\mathbb(R)^4)_1$.
Di questa parte ho solo capito che gli autovalori in un caso sono $1$ e $-1$ ma non ho ben chiaro tutto il discorso e questi valori sono sempre uguali nel caso delle riflessioni e proiezioni ortogonali.
La parte più oscura arriva dopo.
Una base ortonormale di $U$ è ${(1/2,-1/2,1/2,-1/2)}$.
Una base ortonormale di $U^(\bot)$ è ${(\sqrt2/2,0,0,\sqrt2/2),(0,\sqrt2/2,\sqrt2/2,0),(1/2,1/2,-1/2,-1/2)}$
Sulla base di $U$ non ho problemi, è chiaro.
Il dubbio che ho è sulla base del complementare ortogonale perchè io ho trovato la sua base ed è $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)}$.
Calcolo la base ortogonale con il metodo di Gram Schmidt e ottengo $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1/2,1/2,1,0),(1/3,-1/3,1/3,1)}$ e dividendo per la norma pari a $\sqrt2$ non ottengo quella indicata dal prof.
Dove sbaglio?
Grazie per il vostro prezioso aiuto.
Risposte
"arnett":
Cosa indica $(\RR^4)_0$? O gli analoghi con $1$ e $-1$ al pedice.
Non capisco la sua notazione, sicuramente intende con i pendici gli autovalori.
Ho calcolato ad occhio e la base che hai trovato ed è perfettamente legittima.
Ci sono infinite basi che puoi trovare: il tuo prof ne ha trovata una e tu un'altra.
Per la normalizzazione invece sbagli...non devi acriticamente dividere tutto $sqrt(2)$ ma bensì normalizzare ogni singolo vettore in base alla sua lunghezza.
Ci sono infinite basi che puoi trovare: il tuo prof ne ha trovata una e tu un'altra.
Per la normalizzazione invece sbagli...non devi acriticamente dividere tutto $sqrt(2)$ ma bensì normalizzare ogni singolo vettore in base alla sua lunghezza.
"Bokonon":
Per la normalizzazione invece sbagli...non devi acriticamente dividere tutto $sqrt(2)$ ma bensì normalizzare ogni singolo vettore in base alla sua lunghezza.
Si, in questo caso tutti i vettori avevano la stessa norma, cioè $sqrt(2)$.
Grazie mille.
"Samy21":
Si, in questo caso tutti i vettori avevano la stessa norma, cioè $sqrt(2)$.
Direi proprio di no. Il primo vettore della tua base ha norma $sqrt(2)$.
Il secondo $sqrt(3/2)$. Il terzo $2/sqrt(3)$.
Aaaah certo, tu calcoli la norma dei vettori ottenuti con Gram Schmidt, io la calcolo (sbagliando) dei vettori iniziali.
...errore grave però!
Decisamente si
Provvedo a sistemare i miei appunti.
Grazie mille davvero!


Grazie mille davvero!