Calcolo base ortonormale

Samy211
Salve a tutti,

sto studiando questo esercizio assegnato ad un compito con lo svolgimento specificato dal mio prof ma ci sono cose che non riesco a capire, mi sembra sia leggermente criptico.
Il testo è il seguente:
In $\mathbb{R}^4$ con il prodotto euclideo standard sia $U$ generato dal vettore $(1,-1, 1,-1)$. Sia $f : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la riflessione rispetto al sottospazio lineare $U$ e sia $g : \mathbb{R}^4 -> \mathbb{R}^4$ la proiezione ortogonale su U.
Determinare gli autospazi di $f$ e $g$ e le loro basi ortonormali.

La sua soluzione è questa:
Per $f$ abbiamo $U sube (\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot) sube (\mathbb(R)^4)_(-1)$.
Essendo $(\mathbb(R)^4)_1 nn (\mathbb(R)^4)_(-1) =0$ (il vettore nullo) ed essendo $\mathbb(R)^4= U + U^(\bot)$ (somma diretta), deduciamo $U=(\mathbb(R)^4)_1$ e $U^(\bot)=(\mathbb(R)^4)_(-1)$.
Analogamente si prova facilmente che per $g$ abbiamo $U^(\bot)=ker(g)= (\mathbb(R)^4)_0$ e $U=(\mathbb(R)^4)_1$.


Di questa parte ho solo capito che gli autovalori in un caso sono $1$ e $-1$ ma non ho ben chiaro tutto il discorso e questi valori sono sempre uguali nel caso delle riflessioni e proiezioni ortogonali.

La parte più oscura arriva dopo.
Una base ortonormale di $U$ è ${(1/2,-1/2,1/2,-1/2)}$.
Una base ortonormale di $U^(\bot)$ è ${(\sqrt2/2,0,0,\sqrt2/2),(0,\sqrt2/2,\sqrt2/2,0),(1/2,1/2,-1/2,-1/2)}$


Sulla base di $U$ non ho problemi, è chiaro.
Il dubbio che ho è sulla base del complementare ortogonale perchè io ho trovato la sua base ed è $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1,0,1,0),(1,0,0,1)}$.
Calcolo la base ortogonale con il metodo di Gram Schmidt e ottengo $U^(\bot){(1,1,0,0),(-1/2,1/2,1,0),(1/3,-1/3,1/3,1)}$ e dividendo per la norma pari a $\sqrt2$ non ottengo quella indicata dal prof.

Dove sbaglio?

Grazie per il vostro prezioso aiuto.

Risposte
Samy211
"arnett":
Cosa indica $(\RR^4)_0$? O gli analoghi con $1$ e $-1$ al pedice.

Non capisco la sua notazione, sicuramente intende con i pendici gli autovalori.

Bokonon
Ho calcolato ad occhio e la base che hai trovato ed è perfettamente legittima.
Ci sono infinite basi che puoi trovare: il tuo prof ne ha trovata una e tu un'altra.

Per la normalizzazione invece sbagli...non devi acriticamente dividere tutto $sqrt(2)$ ma bensì normalizzare ogni singolo vettore in base alla sua lunghezza.

Samy211
"Bokonon":
Per la normalizzazione invece sbagli...non devi acriticamente dividere tutto $sqrt(2)$ ma bensì normalizzare ogni singolo vettore in base alla sua lunghezza.

Si, in questo caso tutti i vettori avevano la stessa norma, cioè $sqrt(2)$.

Grazie mille.

Bokonon
"Samy21":

Si, in questo caso tutti i vettori avevano la stessa norma, cioè $sqrt(2)$.

Direi proprio di no. Il primo vettore della tua base ha norma $sqrt(2)$.
Il secondo $sqrt(3/2)$. Il terzo $2/sqrt(3)$.

Samy211
Aaaah certo, tu calcoli la norma dei vettori ottenuti con Gram Schmidt, io la calcolo (sbagliando) dei vettori iniziali.

Bokonon
...errore grave però!

Samy211
Decisamente si :cry: :( Provvedo a sistemare i miei appunti.

Grazie mille davvero!

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