Calcolo AUTOVETTORI MATRICE 3x3
hey ragazzi... qualcuno per favore potrebbe aiutarmi con questo esercizio sul calcolo degli autovettori?
Io sono riuscita a calcolare il vettore v1, ma non capisco come abbiano fatto a calcolare il vettore v2...da dove salta fuori??
Vi ringrazio in anicipo...il vostro aiuto sarà determinante per il mio imminente esame!
Io sono riuscita a calcolare il vettore v1, ma non capisco come abbiano fatto a calcolare il vettore v2...da dove salta fuori??
Vi ringrazio in anicipo...il vostro aiuto sarà determinante per il mio imminente esame!
Risposte
Ciao.
Si prega, per i futuri post, di tener conto del regolamento, artt. 1.4, 3.6 e 3.7.
Per venire al problema, basta ricordare la definizione di autovalore e autovettore di una matrice; nel caso in questione, quello con autovalore $lambda=-1$, si deve cercare un vettore $v=(x,y,z) in RR^3$ tale che
$Av=lambdav=-v Rightarrow ((7,0,-6),(2,-1,2),(4,0,-3))((x),(y),(z))=((-x),(-y),(-z))$
Svolgendo i conti (che lascio a te), si ricava un generico autovettore del tipo $(x,y,-x)=x(1,0,-1)+y(0,1,0)$, quindi una possibile coppia di autovalori è quella data da $v_1=(1,0,-1)$ e $v_2=(0,1,0)$.
La coppia $(-1,0,1)$ e $(-1,1,1)$ proposta nella soluzione (di cui ignoro l'esatta provenienza) è equivalente alla coppia che si ricava applicando la procedura sopra descritta, poichè il vettore $(-1,0,1)$ è semplicemente il vettore opposto a $v_1$, mentre il vettore $(-1,1,1)$ è vedibile come espresso dalla somma $-v_1+v_2$.
Saluti.
Si prega, per i futuri post, di tener conto del regolamento, artt. 1.4, 3.6 e 3.7.
Per venire al problema, basta ricordare la definizione di autovalore e autovettore di una matrice; nel caso in questione, quello con autovalore $lambda=-1$, si deve cercare un vettore $v=(x,y,z) in RR^3$ tale che
$Av=lambdav=-v Rightarrow ((7,0,-6),(2,-1,2),(4,0,-3))((x),(y),(z))=((-x),(-y),(-z))$
Svolgendo i conti (che lascio a te), si ricava un generico autovettore del tipo $(x,y,-x)=x(1,0,-1)+y(0,1,0)$, quindi una possibile coppia di autovalori è quella data da $v_1=(1,0,-1)$ e $v_2=(0,1,0)$.
La coppia $(-1,0,1)$ e $(-1,1,1)$ proposta nella soluzione (di cui ignoro l'esatta provenienza) è equivalente alla coppia che si ricava applicando la procedura sopra descritta, poichè il vettore $(-1,0,1)$ è semplicemente il vettore opposto a $v_1$, mentre il vettore $(-1,1,1)$ è vedibile come espresso dalla somma $-v_1+v_2$.
Saluti.
Grazie per la risposta, ho riletto il regolamento, mi scuso.
Io però non ho capito ancora... dunque, ho la matrice $((-7,0,-6),(2,-1,2),(4,0,3))$
Per calcolare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda$ pongo il sistema $\{(-6x - 6y = 0),(2x + 2y = 0),(4x + 4y = 0):}$
pongo z=0, non comparendo nel sistema; x e y invece sono opposti, quindi posso dare ad essi un valore "a caso": x=-1 e y=1 (ma avrei potuto mettere anche x=1 e y= -1 giusto?)
ottengo così il vettore $((-1,0,1))$. Da qui proprio non riesco a capire come si parta per calcolare il vettore v2...
Io però non ho capito ancora... dunque, ho la matrice $((-7,0,-6),(2,-1,2),(4,0,3))$
Per calcolare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda$ pongo il sistema $\{(-6x - 6y = 0),(2x + 2y = 0),(4x + 4y = 0):}$
pongo z=0, non comparendo nel sistema; x e y invece sono opposti, quindi posso dare ad essi un valore "a caso": x=-1 e y=1 (ma avrei potuto mettere anche x=1 e y= -1 giusto?)
ottengo così il vettore $((-1,0,1))$. Da qui proprio non riesco a capire come si parta per calcolare il vettore v2...
"Pizzaandchips":
Per calcolare gli autovettori relativi all'autovalore $ \lambda $ pongo il sistema $ \{(-6x - 6y = 0),(2x + 2y = 0),(4x + 4y = 0):} $
pongo z=0...
Ciao.
Non si deve porre $z=0$ per risolvere il sistema; quest'ultimo, a sua volta e a differenza del testo evidenziato nella citazione, dovrebbe essere dato da
$ \{(-6x - 6z = 0),(2x + 2z = 0),(4x + 4z = 0):}$
Tale sistema, sostanzialmente, si riduce ad un'unica condizione data da $x+z=0$, cioè da $z=-x$, per cui il generico vettore $(x,y,z)$, per poter essere ritenuto autovettore, dev'essere della forma
$(x,y,-x)=x(1,0,-1)+y(0,1,0)$
da cui si ricavano due generatori $v_1=(1,0,-1)$ e $v_2=(0,1,0)$ dell'autospazio associato all'autovalore $lambda=-1$.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
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