Calcolo autovettori e autovalori e diagonalizzabilità
Salve, stò cercando di calcolare autovalori e autospazi di una matrice reale. Dopodichè devo dire se la matrice è diagonalizzabile(giustificando la risposta) e in caso affermativo, devo scrivere una base di autovettori.
la matrice è:
$ ( (0,-1,0),(1,0,0),(0,0,3) ) $ io tramite il metodo di sarrus ho calcolato il determinante del polinomio caratteristco $ |A-kI| $ ottenendo una cosa del tipo:
$ (3-k)(-k)(-k)-(3-k)(-1)=(3-k)(k^2)+(3-k)=(3-k)(k^2+1) $ (i conti dovrebbero essere corretti, magari gli date un'occhiata?) Dopodichè, mi disse la prof. che se dal calcolo del polinomio caratteristico otteniamo soluzioni non reali come nel caso di $ (k^2+1) $ possiamo subito dire che A non è diagonalizzabile. E' vero?
la matrice è:
$ ( (0,-1,0),(1,0,0),(0,0,3) ) $ io tramite il metodo di sarrus ho calcolato il determinante del polinomio caratteristco $ |A-kI| $ ottenendo una cosa del tipo:
$ (3-k)(-k)(-k)-(3-k)(-1)=(3-k)(k^2)+(3-k)=(3-k)(k^2+1) $ (i conti dovrebbero essere corretti, magari gli date un'occhiata?) Dopodichè, mi disse la prof. che se dal calcolo del polinomio caratteristico otteniamo soluzioni non reali come nel caso di $ (k^2+1) $ possiamo subito dire che A non è diagonalizzabile. E' vero?
Risposte
Certo che è vero! una matrice o un endomorfismo per essere diagonalizzabili devono avere autovettori associati ad ogni autovalore, dato che due radici in questo caso non esistono puoi dire che non è diagonalizzabile. D'altronde se calcoli l'autospazio associato all'autovalore 3 vedi che neanche per quell'autovalore è diagonalizzabile!
Bè, direi che è proprio la prima proposizione:
tutte le radici del polinomio caratteristico stanno nello stesso campo K;
Nel mio caso non è così, quindi A non è diagonalizzabile.
Quindi posso trovare autospazi e autovettori solamente realtivi all'autovalore(reale)$ k=3 $ giusto?
tutte le radici del polinomio caratteristico stanno nello stesso campo K;
Nel mio caso non è così, quindi A non è diagonalizzabile.
Quindi posso trovare autospazi e autovettori solamente realtivi all'autovalore(reale)$ k=3 $ giusto?
gaten hai letto tutto il mio messaggio? cosa succede se calcoli l'autospazio relativo all'autovalore 3?
Non ho proprio letto il tuo messaggio, leggo;)
grazie -.-!
"paolotesla91":
Certo che è vero! una matrice o un endomorfismo per essere diagonalizzabili devono avere autovettori associati ad ogni autovalore, dato che due radici in questo caso non esistono puoi dire che non è diagonalizzabile. D'altronde se calcoli l'autospazio associato all'autovalore 3 vedi che neanche per quell'autovalore è diagonalizzabile!
In realtà basta notare che $3$ ha molteplicità algebrica e quindi geometrica $1$, quindi non è sufficiente a diagonalizzare.
Paola
@paolotesla91: se intendi che $lambda=3$ non ha autovettori, ciò non è corretto.
$A-lambdaI=( (-lambda,-1,0),(1,-lambda,0),(0,0,3-lambda) )=>
$A-3I=((-3,-1,0),(1,-3,0),(0,0,0))$
Si vede immediatamente che ci sono $u in RR^3-{ul0}$ tali che $(A-3I)*u=ul0$
$A-lambdaI=( (-lambda,-1,0),(1,-lambda,0),(0,0,3-lambda) )=>
$A-3I=((-3,-1,0),(1,-3,0),(0,0,0))$
Si vede immediatamente che ci sono $u in RR^3-{ul0}$ tali che $(A-3I)*u=ul0$
Paola, io sò che se un autovalore ha molteplicità algebrica = 1, possiamo subito dire che la sua molteplicità geometrica=1, e questo non implicherebbe che A è diagonalizzabile?
@gi8: intendevo dire ciò che ha gia detto Paola! 
No gaten, se dici questo significa che non conosci le definizioni di molteplicità algebrica e geometrica!
No gaten, se dici questo significa che non conosci le definizioni di molteplicità algebrica e geometrica!
Io ho calcolato $ (A-3I) $ ed ho visto che la dim del sottospazio relativo a k=3 è 1 quindi ho sia m.a che m.g = 1. Come posso ricavare una base degli autovettori?
paolotesta91, sei d'accordo con me che (A-3I), ha dimensione 1?
Ovviamente per far si che A sia Diagonalizzabile avrei dovuto avere la somma di tutti gli autospazi = n, ma qui non accade . Quindi non è diag.
Ovviamente per far si che A sia Diagonalizzabile avrei dovuto avere la somma di tutti gli autospazi = n, ma qui non accade . Quindi non è diag.
si gaten sono d'accordo su questo ma ciò non basta per dire che è diagonalizzabile perchè deve verificarsi questa condizione per tutti gli autovalori trovati. Inoltre se un autovalore ha ma=1 ciò non implica che mg=1, può tranquillamente succedere che ma=1 e mg=2.
Perfetto grazie.
Inoltre, prima chiedevo come trovare una base degli autovettori.
Applicando l'eliminazione di gauss alla matrice calcolata da (A-3I) ottengo:
$( (-3x-y=0),(-10y=0) ) $ quindi $ x=0, y=0 $ adesso come trovo una base degli autovettori?
Inoltre, prima chiedevo come trovare una base degli autovettori.
Applicando l'eliminazione di gauss alla matrice calcolata da (A-3I) ottengo:
$( (-3x-y=0),(-10y=0) ) $ quindi $ x=0, y=0 $ adesso come trovo una base degli autovettori?
@gaten: Non una base degli autovettori, ma una base per l'autospazio relativo all'autovalore $lambda_1=3$
Davvero non riesci a vedere un vettore?
@paolotesla91: guarda che $m_g<=m_a$
Davvero non riesci a vedere un vettore?
@paolotesla91: guarda che $m_g<=m_a$
Per l'autospazio mi basta prendere le colonne su cui compaiono i pivot, o mi sbaglio?
@gi8: a me negli esercizi è capitato che un autospazio relativo ad un autovalore risulti così
Attenzione: ho visto una sconceria. Se la m.a. di un autovalore è 1, anche la sua m.g. è 1. Naturalmente non vale con m.a.=$K\ne 1$.
Paola
Paola
@gaten: Sì, è giusto. Ti è venuto, correttamente, ${(x=0),(y=0):}$
Dimmi un vettore che ha queste caratteristiche
Dimmi un vettore che ha queste caratteristiche
Paola ma mg non è la dimensione dell'autospazio $V_\lambda$ ossia la cardinalità dell'autospazio?
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