Calcolo autovettori e autovalori e diagonalizzabilità
Salve, stò cercando di calcolare autovalori e autospazi di una matrice reale. Dopodichè devo dire se la matrice è diagonalizzabile(giustificando la risposta) e in caso affermativo, devo scrivere una base di autovettori.
la matrice è:
$ ( (0,-1,0),(1,0,0),(0,0,3) ) $ io tramite il metodo di sarrus ho calcolato il determinante del polinomio caratteristco $ |A-kI| $ ottenendo una cosa del tipo:
$ (3-k)(-k)(-k)-(3-k)(-1)=(3-k)(k^2)+(3-k)=(3-k)(k^2+1) $ (i conti dovrebbero essere corretti, magari gli date un'occhiata?) Dopodichè, mi disse la prof. che se dal calcolo del polinomio caratteristico otteniamo soluzioni non reali come nel caso di $ (k^2+1) $ possiamo subito dire che A non è diagonalizzabile. E' vero?
la matrice è:
$ ( (0,-1,0),(1,0,0),(0,0,3) ) $ io tramite il metodo di sarrus ho calcolato il determinante del polinomio caratteristco $ |A-kI| $ ottenendo una cosa del tipo:
$ (3-k)(-k)(-k)-(3-k)(-1)=(3-k)(k^2)+(3-k)=(3-k)(k^2+1) $ (i conti dovrebbero essere corretti, magari gli date un'occhiata?) Dopodichè, mi disse la prof. che se dal calcolo del polinomio caratteristico otteniamo soluzioni non reali come nel caso di $ (k^2+1) $ possiamo subito dire che A non è diagonalizzabile. E' vero?
Risposte
"paolotesla91":Posso chiederti di postare questo esercizio? Secondo me hai sbagliato qualcosa.
@gi8: a me negli esercizi è capitato che un autospazio relativo ad un autovalore risulti così
Esatto, nel caso particolare di m.a.=1 puoi immediatamente concludere che m.g.=1.
Gran risparmio di conti!
Sono sicura che la trovi come osservazione sul tuo libro.
Paola
Gran risparmio di conti!
Sono sicura che la trovi come osservazione sul tuo libro.
Paola
ahh sisi eccola l'ho tovata grazie scusatemi xD. Comunuqe si gi8 devo aver sbagliato!
Ok, tutti d'accordo allora 
scusate posso fare una domanda? esulando dall'esercizio di gaten se invece io ho un endomorfismo diagonalizzabile e devo rappresentarne la matrice diagonale rappresentativa, la prof ha detto che basta scrivere la matrice che ha sulla diagonale principale gli autovalori fin qui ci sono, però sui suoi appunti vedo che fa dei calcoli strani, cioè mi spiego: calcola delle basi dei rispettivi autospazi per poi farne una base unione che sarebbe quindi una base del campo $RR^n$ generico, poi considera questa base come riferimento, dopodichè determina la matrice associata all'endomorfismo rispetto al riferimento. Perchè tutti questi conti?
Sia $A$ la matrice di partenza dell'endomorfismo.
Chiamiamo $P$ la matrice formata dall'unione delle basi degli autospazi, e
$D$ la matrice diagonale che ha come elementi della diagonale principale proprio gli autovalori
Vale questa proprietà: $P^(-1)*A*P=D$
Spesso viene chiesto sia di trovare $D$ che di trovare $P$
Qui trovi un esempio
Chiamiamo $P$ la matrice formata dall'unione delle basi degli autospazi, e
$D$ la matrice diagonale che ha come elementi della diagonale principale proprio gli autovalori
Vale questa proprietà: $P^(-1)*A*P=D$
Spesso viene chiesto sia di trovare $D$ che di trovare $P$
Qui trovi un esempio
Gi8, non capisco, una volta trovato la soluzione $ x=0, y=0 $. Questo, dovrebbe essere l'insieme delle soluzioni dell'autospazio relativo all'autovalore $ k=3 $. Giusto? Poichè sò che un autospazio è formato dagli autovettori relativi all'autovalore(nel nostro caso k=3) una base dell'autospazio è formato dagli autovettori:
$ (-3,0,0),(-1,-10,0) $ =>base formata dagli autovettori.
E' così, o sbaglio?
$ (-3,0,0),(-1,-10,0) $ =>base formata dagli autovettori.
E' così, o sbaglio?
"prime_number":
Esatto, nel caso particolare di m.a.=1 puoi immediatamente concludere che m.g.=1.
Gran risparmio di conti!
Sono sicura che la trovi come osservazione sul tuo libro.
Paola
Allora dicevo bene, fortunatamente! Grazie per l'intervento Paola!
@gaten: Sbagli. Ti sei un po' confuso, tutto qui.
Ripeto: hai trovato, correttamente, che tutti i vettori $ulu=(x,y,z) in RR^3$
che appartengono all'autospazio relativo all'autovalore $lambda_1=3$ devono avere $x=0$,$y=0$
Quindi quali sono questi vettori ? Ad esempio $(0,0,2)$, $(0,0,-1)$,...
In sintesi, una base per tutti questi vettori è $ccB={(0,0,1)}$, ad esempio. Ok?
Ripeto: hai trovato, correttamente, che tutti i vettori $ulu=(x,y,z) in RR^3$
che appartengono all'autospazio relativo all'autovalore $lambda_1=3$ devono avere $x=0$,$y=0$
Quindi quali sono questi vettori ? Ad esempio $(0,0,2)$, $(0,0,-1)$,...
In sintesi, una base per tutti questi vettori è $ccB={(0,0,1)}$, ad esempio. Ok?
Perfetto, ti ringrazio:)
"gaten":
Gi8, non capisco, una volta trovato la soluzione $ x=0, y=0 $. Questo, dovrebbe essere l'insieme delle soluzioni dell'autospazio relativo all'autovalore $ k=3 $. Giusto? Poichè sò che un autospazio è formato dagli autovettori relativi all'autovalore(nel nostro caso k=3) una base dell'autospazio è formato dagli autovettori:
$ (-3,0,0),(-1,-10,0) $ =>base formata dagli autovettori.
E' così, o sbaglio?
Quindi in questo caso:
Questa: $ (-3,0,0),(-1,-10,0) $ è una base dell'autospazio relativo all'autovalore k=3. ???
No. La base è $ccB={(0,0,1)}$.
Quei due vettori lì non c'entrano nulla. anche perchè l'autospazio deve avere dimensione $1$
Quei due vettori lì non c'entrano nulla. anche perchè l'autospazio deve avere dimensione $1$
ma l'autospazio ha dimensione 1. dimV-rg(A) = 3-2=1 quindi è 1. Quindi traendo una conclusione posso dire che quella base , genera l'autospazio di autovalore k=3?
gaten forse volevi dire: $dimV=n-\rho(A-\lambdaI)$. Cioè la dimensione è uguale al numero di incognite meno il rango della matrice del polinomio caratteristico!
paolo, io parlo della dimensione dell'autospazio chè è uguale alla dimensione di V(in questo caso 3) - il rango della matrice del polinomio caratteristico(A-3I)
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