Calcolo autovettori

[Bisneff]

Il seguente esercizio:

$A= | ( 6 , 0 , -2 ),( 0 , 5 , 0 ),( -2 , 0 , 9 ) |$

Trovare una base ortonormale di $RR^3$ costituita da autovettori di $A$


Calcolo gli autovalori:
$(t-5)^2 (t-10)$

Inizio lo studio degli autospazi

$VV_5$

$ | ( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ),( -2 , 0 , 4 ) | ---> | ( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) |$

Ora dovrei risolvere il sistema lineare associato... A me verrebbe da fare:

$x-2z=0 ---> ( -2z , 0 , z )$

Invece so che non è così, perchè le soluzioni sono diverse e perchè così non considero la y. Qualcuno saprebbe spiegarmi come va risolto un sistema del genere? Ovvero dove una variabile è espressa con peso 0 ?

Thank You

[Paolo902]

[mod="Paolo90"]Sposto in Geometria e Algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro. Grazie. [/mod]

[Gi81]

"Bisneff":$x-2z=0 -> ( -2z , 0 , z )$

La $y$ non è vincolata a nulla. Non è obbligatorio che sia $0$ sempre.
Il vettore che si ottiene è piuttosto $(-2z,y,z)$ con $y,z in RR$
Ponendo $y=1, z=0$ si ha $u_1=(0,1,0)$
Ponendo $y=0, z=1$ si ha $u_2=(-2,0,1)$
Pertanto $V_5=Span({u_1,u_2})$

[Bisneff]

"Gi8":[quote="Bisneff"]$x-2z=0 -> ( -2z , 0 , z )$

La $y$ non è vincolata a nulla. Non è obbligatorio che sia $0$ sempre.
Il vettore che si ottiene è piuttosto $(-2z,y,z)$ con $y,z in RR$
Ponendo $y=1, z=0$ si ha $u_1=(0,1,0)$
Ponendo $y=0, z=1$ si ha $u_2=(-2,0,1)$
Pertanto $V_5=Span({u_1,u_2})$[/quote]

Perfetto! Proprio questo volevo sapere!

Chiedo conferma per capire se ho capito:

Se mi viene una cosa tipo

$ { ( x + z = 0 ),( y=0 ):}$ allora estraggo la relazione (o generico vettore, come preferite)-> $(-z, 0, z)$

Se invece esce

$ { ( x + z = 0 ):}$ (con y libera) estraggo la relazione -> $(-z, y, z)$

Giusto?
Perchè nel primo caso la y è uguale a 0, mentre nel secondo caso non è dipendente dalle altre. Giusto?


Grazie ancora.

Ps. (scusami Paolo90, ho fatto confusione perchè giravo su entrambe le sezioni insieme! Pardon, starò più attento!)

[Gi81]

"Bisneff":Chiedo conferma per capire se ho capito:
$ { ( x + z = 0 ),( y=0 ):}=>(-z, 0, z)$
Se invece esce
$ x + z = 0 =>(-z, y, z)$
Perchè nel primo caso la $y$ è uguale a $0$, mentre nel secondo caso non è dipendente dalle altre. Giusto?

Più che "non è dipendente dalle altre", non ha proprio vincoli.
Anche nel primo caso la $y$ non è dipendente da $x$ o da $z$, ma ha un vincolo ben preciso. Ok?
Comunque nel complesso quello che hai scritto è giusto