Calcolo autovalori matrice 3x3

[Maker90]

Ciao a tutti ragazzi.
E' tutto oggi che sto cercando di trovare gli autovalori della seguente matrice:
{{7,2,-2},{2,3,-2},{-2,-2,3}}

Utilizzando wolfram gli autovalori che dovrebbero risultare sono 9, 3, 1. Ma purtroppo non riesco proprio ad arrivarci con nessun procedimento..
A svolgere i calcoli mi ritrovo sempre con un polinomio di 3° grado, molto probabilmente devo raccogliere da qualche parte ma non ho nessuna idea..
Mi affido a voi..vi ringrazio in anticipo!

[Maker90]

ovviamente le parentesi rappresentano le righe della matrice..
7 2 -2
2 3 -2
-2 -2 3

[Jason1]

Data la matrice $( ( 7 , 2 , -2 ),( 2 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 3 ) ) $
La ricerca degli autovalori si fa calcolando il determinante di una matrice a cui viene sottratto $\lambda$ dai coefficienti sulla diagonale principale, quindi il determinante di questa matrice $| ( 7-\lambda , 2 , -2 ),( 2, 3-\lambda , -2 ),( -2 , -2 , 3-\lambda ) |$
Se vuoi sapere il motivo che c'è dietro chiedi pure
Dal calcolo del determinante si ottiene il seguente polinomio: $\lambda^3 - 13\lambda^2 + 39\lambda -27$. Se non ti torna questo sbagli qualcosa nel calcolo del determinante. Ti metto quindi il resto della soluzione sotto spoiler:

ok, il determinante non era il problema. Allora a questo punto si tratta di trovare le soluzioni del polinomio di terzo grado. Devi usare Ruffini, ma io non me lo ricordo mai, quindi faccio così: provo con il valore $1$. Quindi pongo $\lambda=1$ nel polinomio, e se mi viene zero allora è soluzione. Avendo le soluzioni so già che posso sostituire $1$, $3$ o $9$ a $\lambda$, altrimenti vado a tentativi. Con $\lambda=1$ sono fortunato, mi torna $0=0$ e quindi è soluzione e posso fare $(\lambda-1)*(...)$, nello specifico $(\lambda-1)*(\lambda^2 - 12\lambda +27)$. Per trovare il secondo termine osserva semplicemente il polinomio da cui venivi. Hai bisogno di un $\lambda^3$, quindi deve esserci un $\lambda^2$ nel "qualcos'altro", ma così lo moltiplichi anche per $-1$ e hai anche un $-\lambda^2$. Da dove venivi hai un $-13\lambda^2$ e quindi aggiungi un $-12\lambda$ nel "qualcos'altro", e così via. Altrimenti, trovato che la soluzione è uno, se ti ricordi Ruffini lo sostituisci e trovi subito i coefficienti. Da qua non dovresti avere problemi a trovare che le soluzioni sono $1$, $3$ e $9$...

... e quindi $1$, $3$ e $9$ sono proprio gli autovalori che cercavi.
Alla fine è solo algebra, ma forse con questo metodo ti risulta più semplice, per me almeno è così.

[Maker90]

grazie mille sei stato gentilissimo!
Il polinomio che dici tu mi viene solo facendo Sarrus... Mentre invece se applico il teorema di Laplace sulla prima colonna non mi risulta proprio e non riesco a capire dove stia sbagliando..
Con il teorema di Laplace viene:

(7-t)*[(3-t)^2 -4] -2*[(6-2t)-4] -2*[-4-(-6+2t)]=0

giusto? sviluppando i calcoli mi risulta t^3-13t^2+43t-55=0

grazie ancora

[Jason1]

Il determinante con il metodo di Laplace credo sia il migliore, una volta capito è meno probabile confondersi anche con matrici grandi. Il polinomio che ti risulta $(7-t)*[(3-t)^2 -4] -2*[(6-2t)-4] -2*[-4-(-6+2t)]=0$ è corretto, probabilmente sbagli qualcosa nei calcoli. Ricontrollali perché sei sulla buona strada, se non trovi l'errore posta pure tutti i passaggi e ti dirò dove sbagli :p